Halliday & Resnick
Fundamentos de Física – 10a Edição
Capítulo 10: Rotação
Exercício 8:
Enunciado:
A aceleração angular de uma roda é $\alpha = 6,0t^4 − 4,0t^2$, com $\alpha$ em radianos por segundo ao quadrado e $t$ em segundos. No instante $t = 0$, a roda tem uma velocidade angular de +2,0 rad/s e uma posição angular de +1,0 rad. Escreva expressões (a) para a velocidade angular… para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.
Dados relevantes fornecidos no enunciado:
Item (a):
Nesse item, vamos escrever a expressão para a velocidade angular $\omega(t)$. Sabemos que a velocidade angular é a integral da aceleração angular no tempo. Portanto,
$$
\omega(t) = \int \alpha(t)dt = \int (6t^4-4t^2)dt = \frac{6}{5}t^5 – \frac{4}{3}t^3 + c
\tag{1}$$
Aplicando a condição inicial para a velocidade angular dada pelo exercício fazendo $\omega(t=0)$ na Equação (1):
$$
\omega(0) = c = 2\;rad/s
\tag{2}$$
O que nos resulta:
$$
\boxed{\omega(t) = 1,2t^5-1,3t^3+2}
\tag{3}$$
Item (b):
Nesse item, devemos calcular a posição angular $\theta(t)$. A posição angular é a integral da velocidade angular $\omega(t)$ calculada no item (a).
$$
\theta(t) = \int \omega(t)dt = \int(1,2t^5-1,3t^3+2)dt = \frac{1,2}{6}t^6-\frac{1,3}{4}t^4+2t+c
\tag{4}$$
Aplicando a condição inicial $\theta(t=0)$ dada pelo exercício, temos:
$$
\theta(0) = c = 1\;rad
\tag{5}$$
O que nos resulta na expressão para a posição angular:
$$
\boxed{\theta(t) = 0,2t^6-0,3t^4+2t+1}
\tag{6}$$
