Exercício 6, Capítulo 2, Curso de Física Básica Vol. 2: tanque de água

Moysés Nussenzveig

Curso de Física Básica – 4^a Edição

Capítulo 2: Noções de hidrodinâmica

Exercício 6:

Um tanque de água se encontra sobre um carrinho que pode mover-se sobre um trilho horizontal com atrito desprezível. Há um pequeno orifício numa parede, a uma profundidade h abaixo do nível da água no tanque… para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.

Dados relevantes fornecidos no enunciado:

Item único:

Assim como no exercício anterior, sabemos que, no caso de massa variável, a força resultante é dada por:

$$
m \frac{dv}{dt} = \frac{dm}{dt}v + \vec{F}_{ext}
\tag{1}$$

Onde $m$ é a massa total, $v$ a velocidade, e $\vec{F}_{ext}$ as forças externas. Note que, nesse caso, não há nenhuma força externa, então o último termo é nulo. Além disso, como queremos a aceleração inicial (isto é, quando a massa de água não foi ejetada pelo furo), podemos dizer que a massa é $m = M_0 + m_0$. Ou seja, a soma da massa de água, do tanque e do carrinho. Logo, na situação inicial, podemos escrever

$$
(m_0 + M_0) a = \frac{dm}{dt}v
\tag{2}$$

Onde usamos que $a = \frac{dv}{dt}$. Sendo assim, a aceleração é dada por:

$$
a = \frac{1}{(m_0 + M_0)}\frac{dm}{dt}v
\tag{3}$$

Como sabemos que a massa de água inicial é $M_0$, podemos dizer que a massa como função do tempo é igual à massa inicial, $M_0$, menos $M(t)$, que é uma função que descreve como a massa diminui com o tempo devido a vazão:

$$
m(t) = M_0 – M(t)
\tag{4}$$

Como sabemos que a densidade da água é $\rho$, podemos dizer que $M(t) = \rho V(t)$, onde $V(t)$ é o volume. Já que o furo tem área $A$, podemos dizer que o volume é dado pela multiplicação dessa área pela velocidade da vazão vezes o tempo (imagine um cilindro de área $A$ e altura $vt$, por exemplo). Então podemos escrever:

$$
M(t) = \rho v At
\tag{5}$$

Logo a expressão para $m(t)$ se torna:

$$
m(t) = M_0 – \rho v At
\tag{6}$$

Sendo assim, a derivada de $m$ em relação ao tempo é:

$$
\frac{dm}{dt} = – \rho v A
\tag{7}$$

Usando esse resultado na equação 3, temps:

$$
a = -\frac{\rho A v^2}{(m_0 + M_0)}
\tag{8}$$

Nos resta apenas determinar o valor de $v$. Podemos escrever a equação de Bernoulli para o topo do líquido:

$$
h + \frac{v_0^2}{2g} + \frac{p_0}{\rho g} = C
\tag{9}$$

Onde $p_0$ é a pressão atmosférica. Sabemos que a velocidade no topo é desprezível, então a equação se torna:

$$
h + \frac{p_0}{\rho g} = C
\tag{10}$$

Da mesma forma, podemos escrever a equação de Bernoulli para o jato d’água assim que ele sai do tanque:

$$
z_1 + \frac{v^2}{2g} + \frac{p_0}{\rho g} = C
\tag{11}$$

Como medimos $h$ a partir da altura do furo, $z_1 = 0$, portanto:

$$
\frac{v^2}{2g} + \frac{p_0}{\rho g} = C
\tag{12}$$

Igualando as equações 10 e 12, temos:

$$
h + \frac{p_0}{\rho g} =\frac{v^2}{2g} + \frac{p_0}{\rho g}
\tag{13}$$

O que nos dá a expressão para $v^2$:

$$
v^2 = 2gh
\tag{14}$$

Utilizando esse resultado na equação 8, temos a resposta:

$$
\boxed{a = -\frac{2 gh \rho A }{(m_0 + M_0)}}
\tag{15}$$