Moysés Nussenzveig
Curso de Física Básica – 4a Edição
Capítulo 2: Noções de hidrodinâmica
Exercício 3:
Enunciado:
Um reservatório contém água até $0,5 \; m$ de altura e, sobre a água, uma camada de óleo de densidade $0,69 \; g/cm^3$, também com $0,5 \; m$ de altura. Abre-se um pequeno orifício … para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.
Dados relevantes fornecidos no enunciado:
Item único:
Para resolvermos esse problema, basta utilizarmos a equação de Bernoulli em dois pontos distintos. Chamaremos de ponto $1$ a interface entre a água e o óleo, e ponto $2$ um ponto da linha corrente na parte cilíndrica do jato que escoa do reservatório.
Para o ponto $1$, a equação de Bernoulli é:
$$
z_1 + \frac{v_1^2}{2g} + \frac{P_1}{\rho_{H_2O}} = C
\tag{1}$$
Onde $z_1$ é a altura do ponto $1$, $v_1$ a velocidade naquele ponto, e $P_1$ a pressão. A velocidade naquele ponto é nula, pois assumimos que o escoamento não altera de forma apreciável o topo do líquido no reservatório. A pressão no ponto $1$ é:
$$
P_1 = P_0 + \rho_O g h
\tag{2}$$
Ou seja, é igual a pressão atmosférica, mais pressão causada pela coluna de óleo de altura $h$. Sendo assim, temos:
$$
z_1 + \frac{P_0 + \rho_O g h}{\rho_{H_2O}} = C
\tag{3}$$
Para o ponto $2$, podemos escrever:
$$
z_2 + \frac{v_2^2}{2g} + \frac{P_0}{\rho_{H_2O}g} = C
\tag{4}$$
Note que a pressão é $P_0$ pois o líquido já está fora do reservatório, tal qual acontece no exemplo da fórmula de Torricelli no livro (seção 2.5). Ao igualarmos as equações 1 e 4, temos:
$$
z_1 + \frac{P_0 + \rho_O g h}{\rho_{H_2O}} = z_2 + \frac{v_2^2}{2g} + \frac{P_0}{\rho_{H_2O}g}
\tag{5}$$
Podemos isolar $v_2$ e obter a expressão:
$$
v_2^2 = 2g \left[ (z_1 – z_2) + \frac{\rho_Oh}{\rho{H_2O}}\right]
\tag{6}$$
Sabemos que o termo $z_1-z_2$ corresponde à altura da coluna de água, pois o furo está na base do reservatório. Logo, se substituirmos os termos, temos:
$$
v_2^2 = 2\times9,81\times\left[ 0,5 + \frac{0,69 \times 0,5}{1}\right]
\tag{7}$$
O que resulta em:
$$
\boxed{v_2 = 4,07 \; m/s}
\tag{8}$$
Note que a resposta é levemente diferente daquela que está no livro, mas consideramos que esse raciocínio está certo. Caso discorde, entre em contato! 🙂
