Halliday & Resnick
Fundamentos de Física – 10a Edição
Capítulo 10: Rotação
Exercício 18:
Enunciado:
Um pulsar é uma estrela de nêutrons que gira rapidamente em torno de si mesma e emite um feixe de rádio, do mesmo modo como um farol emite um feixe luminoso. Recebemos na Terra um pulso de rádio para cada revolução da estrela. O período T de rotação de um pulsar é determinado medindo o intervalo de tempo entre os pulsos. O pulsar da nebulosa do Caranguejo tem um período de rotação T = 0,033 s que está aumentando a uma taxa de $1,26 \times 10^{−5} \; s/ano$. (a) Qual é a aceleração angular $\alpha$ do pulsar? (b) Se $\alpha$ se mantiver constante, daqui a quantos anos o pulsar vai parar… para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.
Dados relevantes fornecidos no enunciado:
Item (a):
Queremos calcular qual a aceleração angular $\alpha$ do pulsar. Podemos escrever $\alpha$ como sendo a derivada da velocidade angular:
$$
\alpha = \frac{d\omega}{dt}
\tag{1}$$
Veja que temos informação do período, ou seja, do tempo que o pulsar leva para completar um deslocamento angular de $2\pi$. Então, a velocidade angular fica:
$$
\omega = \frac{2\pi}{T}
\tag{2}$$
Substituindo $\omega$ na Equação (1) e derivando em relação ao tempo:
$$
\alpha = \frac{d\omega}{dt} = \frac{d}{dt}\frac{2\pi}{T(t)}
\tag{3}$$
Veja que o período não é uma constante nesse caso pois ele está aumentando em uma taxa por ano como dito pelo exercício. Portanto, temos que derivar $T(t)$ com relação ao tempo na Equação (3). Pela regra da cadeia, ficamos com:
$$
\alpha = -\frac{2\pi}{T^2}\frac{dT}{dt}
\tag{4}$$
A razão $dT/dt$ pode ser calculada percebendo que $dT$ é dado em termos de segundos por ano, então o tempo no denominador deve ser quantos segundos tem em um ano:
$$
\frac{dT}{dt} = \frac{1,26\times10^{-5}\;s/ano}{3,16\times10^7\;s/ano} = 4\times10^{-13}
\tag{5}$$
Voltando a Equação (4):
$$
\boxed{\alpha = -\frac{2\pi}{(0,033\;s)^2}(4\times10^{-13}) = -2,3\times10^{-9}\;rad/s^2}
\tag{6}$$
O sinal negativo da aceleração angular nos diz que a velocidade angular do pulsar está diminuindo e, portanto, seu período está aumentando, como foi dito no exercício.
Item (b):
Nesse item, o exercício nos pede daqui quantos anos o pulsar vai parar de girar se a aceleração angular se mantiver a mesma. Quando o pulsar para de girar, sua velocidade angular será zero ($\omega = 0$). Então, pela Equação de movimento angular e explicitando o tempo:
$$
\omega = \omega_0 + \alpha t \Longrightarrow t=-\frac{\omega_0}{\alpha}
\tag{7}$$
Como a velocidade angular está relacionada com o período ($\omega_0 = 2\pi/T$), temos que:
$$
t = -\frac{2\pi}{\alpha T} = -\frac{2\pi}{(-2,3\times10^{-9}\;rad/s^2)(0,033\;s)}
\tag{8}$$
Então, o pulsar irá parar daqui a
$$
\boxed{t = 8,3\times10^{10}\;s \approx 2,6\times10^3\;anos}
\tag{9}$$
Item (c):
Nesse item, o exercício nos diz que o pulsar foi criado pela explosão de uma supernova observada no ano de 1054. Supondo $\alpha$ constante, queremos determinar o período $T$ logo após a explosão. Podemos escrever a equação de movimento como sendo:
$$
\omega = \omega_0 +\alpha \Delta t
\tag{10}$$
Escrevendo as velocidades angulares em função dos períodos:
$$
\frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{T_0} + \alpha \Delta t
\tag{11}$$
No qual $T_0$ é o período logo depois da explosão, isolando $T_0$ e fazendo $\Delta t = 2020-1054 = 966$:
$$
T_0 = \frac{2\pi}{\frac{2\pi}{T}-\alpha \Delta t}
\tag{12}$$
Substituindo os valores e transformando anos em segundos, ficamos com:
$$
T_0 = \frac{2\pi}{\frac{2\pi}{0,033\;s}-(-2,3\times10^{-9}\;rad/s^2)(966\;anos)(3,16\times10^7\;s/ano)}
\tag{13}$$
O que nos resulta em:
$$
\boxed{T_0 = 0,0241\;s}
\tag{14}$$
Perceba que o resultado depende do ano que você está no momento da resolução do exercício. Mas a diferença que isso causa na resposta final é praticamente na quarta casa decimal. Por exemplo, em 2054, quando fizer 1000 anos da descoberta do pulsar, $T_0 \approx 0,0239\;s$.
