Moysés Nussenzveig
Curso de Física Básica – 4a Edição
Capítulo 2: Noções de hidrodinâmica
Exercício 4:
Enunciado:
Um tubo contendo ar comprimido a uma pressão de 1,25 atm tem um vazamento através de um pequeno orifício em sua parede lateral. Sabendo que a densidade do ar na atmosfera é de… para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.
Dados relevantes fornecidos no enunciado:
Item único:
Podemos escrever a equação de Bernoulli para uma linha de corrente dentro do reservatório:
$$
z_1 + \frac{v_1^2}{2g} + \frac{P_1}{\rho’_{ar}g} = C
\tag{1}$$
Onde $P_1$ é a pressão dentro do resevatório, e $\rho’_{ar}$ a densidade do ar lá dentro. Podemos considerar que a velocidade dentro do reservatório é nula, já que vazão não altera de forma apreciável o volume de ar interno. Além disso, sabemos que a pressão interna, $P_1$, é de $1,25 \; atm$, ou seja, $P_1 = 1,25P_0$. Logo a equação acima se torna:
$$
z_1 + \frac{1,25P_0}{\rho’_{ar}g} = C
\tag{2}$$
Da mesma forma, podemos escrever a equação para essa linha de corrente logo que ela sai do reservatório:
$$
z_2 + \frac{v_2^2}{2g} + \frac{P_0}{\rho’_{ar}g} = C
\tag{3}$$
Podemos igualar as expressões, o que nos dá:
$$
z_1 + \frac{1,25P_0}{\rho’_{ar}g} = z_2 + \frac{v_2^2}{2g} + \frac{P_0}{\rho’_{ar}g}
\tag{4}$$
Nós podemos considerar que $z_1 = z_2$, visto que altura nesse caso não altera a pressão interna, ela é igual em todo reservatório. Isso nos deixa com a seguinte igualdade:
$$
\frac{1,25P_0}{\rho’_{ar}g} = \frac{v_2^2}{2g} + \frac{P_0}{\rho’_{ar}g}
\tag{5}$$
Portanto temos a expressão para a velocidade:
$$
v^2 = 2P_0\left(\frac{1,25}{\rho’_{ar}} – \frac{1}{\rho’_{ar}}\right)
\tag{6}$$
Onde deixamos cair o índice $2$ para simplificar a notação. Nos resta então calcular $\rho’_{ar}$, a densidade do ar dentro do reservatório. Considerando o ar um gás ideal, é razoavel também assumir que a expansão (ou compressão) é isotértmica. Portanto, podemos usar a Lei de Boyle-Mariotte:
$$
P_0V_0 = P_1V_1
\tag{7}$$
Onde $P_0$ é a pressão atmosférica; $V_0$ o volume dessa massa de ar na atmosfera; $P_1$ a pressão dentro do reservatório; e $V_1$ o volume que esse gás ocupa lá dentro. Veja que podemos escrever os volumes como função da massa e densidade:
$$
V = \frac{m}{\rho}
\tag{8}$$
Como a massa é a mesma (porque é a mesma massa de ar que passa pela transformação isotérmica), podemos escrever:
$$
P_0 \frac{m}{\rho_{ar}} = 1,25P_0 \frac{m}{\rho’_{ar}}
\tag{9}$$
Onde já usamos que $P_1 = 1,25 \; atm$. Isso resulta em:
$$
\rho’_{ar} = 1,25 \rho_{ar}
\tag{10}$$
Utilizando esse resultado na equação 6, temos:
$$
v^2 = 2P_0\left(\frac{1,25}{1,25\rho_{ar}} – \frac{1}{1,25\rho_{ar}}\right)
\tag{11}$$
Logo a expressão para $v$ é:
$$
v^2 = 2P_0\left(\frac{1}{\rho_{ar}} – \frac{1}{1,25\rho_{ar}}\right)
\tag{12}$$
Utilizando $P_0 = 101325 \; Pa$ e a densidade do ar dada no enunciado, temos a resposta:
$$
\boxed{v \approx 177 \; m/s}
\tag{13}$$
