Moysés Nussenzveig
Curso de Física Básica – 4a Edição
Capítulo 1: Estática dos Fluidos
Exercício 8:
Enunciado:
o experimento dos hemisférios de Magdeburgo (Seção 1.5) seja $\Delta p$ a diferença entre a pressão atmosférica externa e a pressão interna, e seja d o diâmetro dos hemisférios, (a) Calcule a força que teria de ser exercida por cada parelha de cavalos para separar os hemisférios, (b) Na experiência realizada em 1654… para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.
Dados relevantes fornecidos no enunciado:
Item (a):
A força é dada pela pressão multiplicada pela área sobre a qual a força é exercida:
$$
d\vec{F} = \Delta p \hat{r} dA
\tag{1}$$
Onde $\Delta p$ é a diferença de pressão, $\hat{r}$ é o vetor unitário normal à superfície do hemisfério, e $dA$ o elemento de área. Considerando um elemento de área em coordenadas esféricas com raio $r$ constante (pois estamos sempre na superfície do hemisfério), podemos escrever então:
$$
\vec{F} = \Delta p \int_{H} \hat{r} r^2 \sin{\theta} d\theta d\phi
\tag{2}$$
Onde $H$ representa a área do hemisfério. Sendo $r$ constante, nós temos então a expressão:
$$
\vec{F} = \Delta p r^2 \int_{H} \hat{r} \sin{\theta}d\theta d\phi
\tag{3}$$
Perceba que o vetor unitário $\hat{r}$ é sempre na direção radial. Além disso, considere o seguinte sistema de coordenadas: a esfera está no centro, com os cavalos puxando os hemisférios no eixo $y$, como ilustra a figura abaixo:
Figura 1: Hemisférios no sistema de coordenadas selecionado para a resolução do problema. As parelhas de cavalos (indicadas pelas setas vermelhas) exercem a força ao longo do eixo $y$.
Dessa forma, nós temos que somente a componente $y$ do vetor unitário $\hat{r}$ é relevante para as forças exercidas pelas parelhas de cavalos. Nós sabemos que as componente de $\hat{r}$ são:
$$
\hat{r} = \sin{\theta}\cos{\phi}\hat{x} + \sin{\theta}\sin{\phi}\hat{y} + \cos{\theta}\hat{z}
\tag{4}$$
Portanto podemos escrever a equação 3 como:
$$
\vec{F} = \Delta p r^2 \int_0^{\pi} \int_{0}^{\pi}\sin{\theta}\sin{\phi}\hat{y} \sin{\theta}d\theta d\phi
\tag{5}$$
Onde integramos de 0 a $\pi$ em ambos os ângulos polar e azimutal pois queremos um único hemisfério. Portanto:
$$
\vec{F} = \hat{y} \Delta p r^2 \int_0^{\pi} \sin^{2}{\theta} \int_{0}^{\pi} sin{\phi}d\phi
\tag{6}$$
O que resulta em:
$$
\vec{F} = \hat{y} \Delta p r^2 \left(\frac{\pi}{2}\right) 2 = \Delta p \pi r^2 \hat{y}
\tag{7}$$
Sabendo que no caso dos hemisférios do problema $r = d/2$, então temos que o módulo da força exercida em cada hemisfério é:
$$
\boxed{F = \frac{\Delta p \pi d^2}{4}}
\tag{8}$$
Item (b):
Para calcularmos o que foi pedido nesse item, podemos utilizar a resposta do item anterior, considerando $d = 37 \; cm = 0.37 \; m$, e $\Delta p = 1 \; atm \approx 9.1 \times10^4 \; Pa$, onde nós já convertemos as unidades para o sistema internacional. Portanto:
$$
\boxed{F = \frac{9.1 \times10^4 \pi (0.37)^2}{4} = 9785 \; N = 1000 \; kgf}
\tag{9}$$
