Moysés Nussenzveig
Curso de Física Básica – 4a Edição
Capítulo 1: Estática dos Fluidos
Exercício 7:
Enunciado:
Um pistão é constituído por um disco ao qual se ajusta um tubo oco cilíndrico de diâmetro $d$, e está adaptado a um recipiente cilíndrico de diâmetro $D$. A massa do pistão com o tubo é $M$ e ele está inicialmente no fundo do recipiente. Despeja-se então pelo tubo uma massa $m$ O livro também pode ser adquirido através desse link.
Dados relevantes fornecidos no enunciado:
Item único:
Olhando a figura mostrada no livro, podemos dizer que o volume ocupado pelo líquido (em cinza claro no livro) é dado pela seguinte equação:
$$
V = \frac{\pi}{4}\left(d^2 h + D^2H\right)
\tag{1}$$
Ou seja, é o volume do cilindro de diâmetro $d$ e altura $h$, e do cilindro de diâmetro $D$ e altura $H$. Sendo assim, a sua massa é obtida simplesmente multiplicando o volume pela densidade $\rho$ do líquido.
$$
m = \rho \frac{\pi}{4}\left(d^2 h + D^2H\right)
\tag{2}$$
Note que pistão faz força para baixo, o que aumentaria a altura $h$ da coluna que está em seu centro. Por outro lado, a pressão dessa mesma coluna de líquido resiste à pressão gerada pelo pistão. Sabendo que o sistema está em equilíbrio, podemos então igualar a pressão do pistão a pressão do líquido.
A pressão exercida pelo pistão é dada pelo seu peso dividido sobre a área na qual ele exerce a força:
$$
P = \frac{M}{A} = \frac{Mg}{\frac{\pi}{4}(D^2-d^2)}
\tag{3}$$
A pressão da coluna d’água é:
$$
P = \rho g h
\tag{4}$$
Podemos então escrever a igualdade:
$$
\rho gh = \frac{Mg}{\frac{\pi}{4}(D^2-d^2)}
\tag{5}$$
Note que reorganizando a equação acima nós obtemos uma expressão para $h$:
$$
h = \frac{4M}{\pi\rho(D^2-d^2)}
\tag{6}$$
Dessa forma, podemos voltar à equação (2) e substituir a expressão para $h$:
$$
m = \rho\frac{\pi}{4}\left( d^2\frac{4M}{\pi\rho(D^2-d^2)} + D^2H\right)
\tag{7}$$
Reorganizando essa expressão, nós obtemos a resposta do livro:
$$
\boxed{H = \frac{4}{\pi\rho D^2}\left(m – \frac{Md^2}{D^2-d^2}\right)}
\tag{8}$$
