Halliday & Resnick
Fundamentos de Física – 10ª Edição
Volume 2
Capítulo 14: Fluidos
Exercício 72
Enunciado:
A Fig. 14-55 mostra um diagrama muito simplificado do sistema de drenagem de água da chuva de uma casa. A chuva que cai no telhado inclinado escorre para as calhas da borda do telhado e desce por canos verticais (apenas um desses canos é mostrado na figura) para um cano principal M abaixo do porão, que leva a água para um cano ainda maior, situado no subsolo… para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.
Solução:
Dados relevantes fornecidos no enunciado:
- Sistema de drenagem de água de chuva de uma casa;
- Os canos das calhas e um ralo no porão estão ligados a um cano principal $M$;
- Os canos verticais tem comprimento $h_1=11\;m$;
- O ralo fica a uma altura $h_2=1,2\;m$ do cano $M$ que tem raio de $r=3\,cm$;
- A casa tem $L=60\;m$ de fachada e $P=30\;m$ de profundidade;
- A velocidade da água nos canos verticais é desprezível e a chuva cai verticalmente.
Item único:
O exercício nos pergunta a que precipitação, em centímetros por hora, a água do cano $M$ chega a altura do ralo, ameaçando inundar o porão. A Figura 14-55 do livro ilustra a situação. Perceba que podemos aplicar a Equação de Bernoulli entre o cano da calha de altura $h_1$ e os cano do ralo de altura $h_2$, uma vez que os canos verticais e o cano do ralo são vasos comunicantes através do cano $M$. A Equação de Bernoulli de forma geral pode ser escrita como:
$$p_1+\frac{1}{2}\rho v_1^2+\rho gh_1 = p_2+\frac{1}{2}\rho v_2^2+\rho gh_2 \tag{1}
$$
Agora, vamos pensar nos termos dessa Equação pensando nesse problema. Primeiramente, as pressões $p_1$ e $p_2$ são as pressões atmosféricas tanto para ambos os canos, portanto, $p_1=p_2$ e podemos eliminar esses dois termos da equação.
Ainda, o termo $v_1$ é justamente a velocidade da água que desce devido a chuva no cano da calha. O exercício nos diz que essa velocidade pode ser desprezada, ou seja, $v_1=0$. Desse modo, a Equação (1), fica:
$$\frac{1}{2} v_2^2 = g(h_1-h_2) \tag{2}
$$
No qual já eliminamos o fator comum $\rho$ de ambos os lados da Equação. Agora, podemos isolar e calcular $v_2$ através dos valores numéricos dado:
$$v_2 = \sqrt{2g(h_1-h_2)} = \sqrt{2(9,8\;m/s^2)(11\;m-1,2\;m)} = 13,86\;m/s \tag{3}
$$
Agora sim, podemos utilizar a equação de continuidade para calcular o índice de precipitação $v_1$. Veja que essa velocidade não é mais a velocidade que o exercício nos diz que é desprezível. A velocidade que desprezamos na Equação de Bernoulli é a velocidade que a água entra nos canos verticais, já $v_1$ que queremos calcular agora é a velocidade de precipitação da chuva, que cai por todo o telhado e é recolhida pelas calhas. A equação de continuidade nos diz que:
$$A_1v_1=A_2v_2 \Longrightarrow v_1 = \frac{A_2}{A_1}v_2 \tag{4}
$$
A área $A_2$ é a área do ralo, dado por:
$$A_2 = \pi (0,03\;m)^2 = 2,8\times10^{-3}\;m^2 \tag{5}
$$
Já a área $A_1$ será basicamente a área da casa, uma vez que a água dos canos verticais vem da coleta de toda a água que cai no telhado da casa, ou seja:
$$A_1 = LP = (30\;m)(60\;m) = 1800\;m^2 \tag{6}
$$
Substituindo esses valores na Equação (4):
$$v_1 = \frac{2,8\times10^{-3}\;m^2}{1800\;m^2}(13,86\;m/s) = 2,16\times10^{-5}\;m/s \tag{7}
$$
Perceba que a velocidade precipitação da chuva é 5 ordens de grandeza menor que a velocidade da água no cano do ralo. Como o exercício nos pede a precipitação em $cm/h$, basta transformarmos o resultado anterior:
$$\boxed{v_2 = 2,16\times10^{-5}\frac{m}{s}\frac{cm}{0,01\;m}\frac{3600\;s}{h}=7,8\;cm/h} \tag{8}
$$
