Halliday & Resnick
Fundamentos de Física – 10ª Edição
Volume 3
Capítulo 23: Lei de Gauss
Exercício 16
Enunciado:
A superfície gaussiana, em forma de paralelepípedo, da Fig. 23-38 envolve uma carga de $+24\epsilon_0\;C$ e está imersa em um campo elétrico, que é fornecido por $\vec{E}=[(10+2x)\hat{i}+3\hat{j}+bz\hat{k}]\;N/C$, com $x$ e $z$ em metros e $b$ uma constante…. para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.
Solução:
Dados relevantes fornecidos no enunciado:
- A Figura 23-38 do livro mostra uma superfície gaussiana em forma de paralelepípedo que envolve uma carga de $C=+24\epsilon_0\;C$;
- A carga está imersa em um campo elétrico dado por $\vec{E}=[(10+2x)\hat{i}+3\hat{j}+bz\hat{k}]\;N/C$;
- $x$ e $z$ é dado em metros e $b$ é uma constante;
- A face inferior do paralelepípedo está no plano $xz$, já a face superior está no plano horizontal que passa por $y_2=1\;m$.
Item único:
O exercício nos pergunta o valor de $b$ para $x_1=1\;m$, $x_2=4\;m$, $z_1=1\;m$ e $z_2=3\;m$. Esses valores são os valores das extremidades do paralelepípedo em cada coordenada. A Lei de Gauss nos diz que, dado uma superfície fechada (no caso, o paralelepípedo), o fluxo de campo nessa superfície equivale a carga envolvida por ela vezes a permissividade do vácuo:
$$
\Phi = \frac{q_{env}}{\epsilon_0} \tag{1}
$$
O fluxo é dado pela integral do campo elétrico na área de toda a superfície fechada:
$$
\Phi = \oint \limits_{A} \vec{E}\cdot d{\vec{A}} \tag{2}
$$
Como estamos tratando de um paralelepípedo, podemos calcular o fluxo entre duas faces paralelas e depois somar a contribuição das faces de cada coordenada, ou seja:
$$
\Phi = \Phi_{yz} + \Phi_{xz} + \Phi_{xy} \tag{3}
$$
No qual:
$$
\Phi_{yz} = \iint[E_x(x=x_2)-E_x(x=x_1)]dydz \tag{4}
$$
Perceba que no caso das faces paralelas ao plano $yz$, a única componente do campo que não é perpendicular ao vetor área (e portanto tem $\vec{E} \cdot d \vec{A} \ne 0$) é justamente a componente do campo em $x$. Para a face em $x=x_2$, por exemplo, temos:
$$
\vec{E}\cdot d\vec{A} = (E_x\hat{i}+E_y\hat{j}+E_z\hat{k}) \cdot \hat{i} = E_x \tag{5}
$$
Com isso, o fluxo entre as faces será a integral na superfície do campo que passa por no plano $x=x_2$ menos o que passa na outra face do paralelepípedo em $x=x_1$. Daí temos a Equação (4) daquela forma. Fazendo a integral, temos:
$$
\Phi_{yz} = \iint[E_x(x=x_2)-E_x(x=x_1)]dydz = \int_{y_1=0}^{y_2=1} dy \int_{z_1=1}^{z_2=3}dz[10+2(4)-10-2(1)] \tag{6}
$$
O sinal de menos para o campo em $x=x_1$ na equação abaixo é devido aos vetores campo elétrico e área estarem antiparalelos uma vez que o vetor área aponta sempre para ‘fora’ do volume. Veja que $E_x(x=x_2)-E_x(x=x_1)$ é apenas um número, ou seja, não há dependência com $y$ ou $z$ de modo que caímos numa integral trivial. Os limites de integração são os limites do retângulo formado pela face paralela ao plano $yz$ (Veja a Figura do livro).
$$
\Phi_{yz} = 6\int_{y_1=0}^{y_2=1} dy\int_{z_1=1}^{z_2=3}dz = 6(1)(2) = 12 \tag{7}
$$
Agora, temos que fazer esse mesmo processo para os outros dois fluxos. Para as faces paralelas ao plano $xz$, temos $\vec{E}\cdot d\vec{A} = (E_x\hat{i}+E_y\hat{j}+E_z\hat{k}) \cdot \hat{j} = E_y$ (O sinal de menos para o campo em $y=y_1$ na equação abaixo é devido aos vetores campo elétrico e área estarem antiparalelos uma vez que o vetor área aponta sempre para ‘fora’ do volume):
$$
\Phi_{xz} = \iint[E_y(y=y_2)-E_y(y=y_1)]dxdz = \int_{x_1=1}^{x_2=4}dy\int_{z_1=1}^{z_2=3}dz[-3-(-3)] \tag{8}
$$
Veja que para esse plano, o vetor área aponta na direção de $y$, portanto, apenas a componente $E_y$ é não nula para $\vec{E}\cdot d\vec{A}$. Novamente o campo em $y$ é independente de $x$ e $z$, de modo que o fluxo fica:
$$
\Phi_{xz} = 0 \tag{9}
$$
Esse resultado faz sentido uma vez que o campo na direção de $y$ é constante ($3\hat{j}$), portanto, as linhas de campo que passam por uma das faces tem a mesma intensidade que as linhas que passam pela outra face paralela que compõe o paralelepípedo de modo que o fluxo total nessas duas faces se anula.
Fazendo o mesmo para $\Phi_{xy}$:
$$
\Phi_{xy}=\iint[E_z(z=z_2)-E_z(z=z_1)]dxdy = \int_{x_1=1}^{x_2=4}dy\int_{y_1=0}^{y_2=1}dy[3b-b] \tag{10}
$$
Como $b$ é uma constante, a integral a ser feita também é trivial e resulta:
$$
\Phi_{xy} = 2b(3)(1) = 6b \tag{11}
$$
Agora, podemos voltar na Equação (1), usando que $q_{env}=+24\epsilon_0\;C$:
$$
\Phi = \Phi_{yz} +\Phi_{xz} + \Phi_{xy} = \frac{q_{env}}{\epsilon_0} \tag{12}
$$
\begin{equation}
12 + 0 + 6b = \frac{24\epsilon_0}{\epsilon_0} = 24 \tag{13}
\end{equation}
Isolando $b$ que queremos saber, temos:
\begin{equation}
\boxed{b=2} \tag{14}
\end{equation}
