Halliday & Resnick
Fundamentos de Física – 10ª Edição
Volume 2
Capítulo 14: Fluidos
Exercício 48
Enunciado:
A Fig. 14-44 mostra uma bola de ferro suspensa por uma corda, de massa desprezível, presa em um cilindro que flutua, parcialmente submerso, com as bases paralelas à superfície da água. O cilindro tem uma altura de $6,00 \; cm$, uma área das bases de $12,0 \;cm^2$… para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.
Solução:
Dados relevantes fornecidos no enunciado:
- Bola de ferro é suspensa por uma corda de massa desprezível presa em um cilidro que flutua;
- O cilindro é parcialmente submerso com bases paralelo a superfície da água;
- O cilindro tem altura de $6\;cm$, área da base de $12\;cm^2$, massa específica de $\rho_c = 0,3\;g/cm^3$ e $2\;cm$ da altura estão acima da superfície da água.
Item único:
O exercício nos pede para calcular o raio da bola de ferro. A Figura 14-44 ilustra o problema. Perceba que se soubermos o volume da bola de ferro, podemos encontrar seu raio através da equação do volume de uma esfera. Para encontrarmos o volume da bola de ferro, podemos utilizar o efeito do empuxo. Como o sistema está no equilíbrio, a força de empuxo do sistema devido a parte dele que está submerso deve ser igual ao peso total do sistema, ou seja:
$$g\rho_c V_c + g\rho_{Fe}V_{Fe} = g\rho_aV_s + g\rho_aV_{Fe} \tag{1}
$$
No qual $V_c$ é o volume total do cilindro, $V_{Fe}$ é o volume total da bola de ferro e $V_s$ é o volume do cilindro que está submerso na água. $\rho_c$, $\rho_a$ e $\rho_{Fe}$ são a massa específica do cilindro, da água e do ferro, respectivamente. Ou seja, o lado esquerdo da equação é o peso total do sistema (cilindro + bola de ferro). A corda não participa do problema porque sua massa é desprezível. O lado direito da equação é o peso da porção de água que o sistema deslocou, por isso o uso da massa específica da água e o volume apenas da parte do cilindro submerso.
Agora, podemos calcular o volume total do cilindro:
$$V_c = 6\;cm \times 12\;cm^2 = 72\;cm^3 = 7,2\times10^{-5}\;m^3 \tag{2}
$$
E o volume da parte submersa do cilindro:
$$V_s = 4\;cm \times 12\;cm^2 = 48\;cm^3 = 4,8\times10^{-5}\;m^3 \tag{3}
$$
As massas específicas podem ser obtidas na Tabela 14-1 do livro. De lá, temos que:
$$\rho_a = 0,998\times10^3\;kg/m^3 \tag{4}
$$
$$\rho_{Fe} = 7,9\times10^3\;kg/m^3 \tag{5}
$$
O exercício nos dá a massa específica do cilindro, mas devemos mudar sua unidade de $g/cm^3$ para $1000\;kg/m^3=g/cm^3$, resultando:
$$\rho_c = 0,3\;g/cm^3 = 0,3\times10^3\;kg/m^3 \tag{6}
$$
Com esses cinco valores numéricos, temos apenas o volume da bola de ferro como incógnita na Equação (1). Portanto, substituindo, temos, já simplificando a aceleração da gravidade:
$$(0,3\times10^3\;kg/m^3)(7,2\times10^{-5}\;m^3) + (7,9\times10^3\;kg/m^3)V_{Fe} = (0,998\times10^3\;kg/m^3)[4,8\times10^{-5}\;m^3 + V_{Fe}] \tag{7}
$$
$$(6,9\times10^3\;kg/m^3) V_{Fe} = 4,8\times10^{-2}\;kg-2,16\times10^{-2}\;kg \tag{8}
$$
$$V_{Fe} = \frac{2,64\times10^{-2}\;kg}{6,9\times10^3\;kg/m^3} = 3,8\times10^{-6}\;m^3 \tag{9}
$$
Com isso, usando a equação da esfera:
$$V_{Fe} = \frac{4}{3}\pi R^3 = 3,8\times10^{-6}\;m^3 \tag{10}
$$
Isolando o raio da bola de ferro, chegamos na resposta final:
$$\boxed{R = \sqrt[3]{\frac{3}{4\pi}(3,8\times10^{-6}\;m^3)} = 9,7\times10^{-3}\;m = 9,7\;mm} \tag{10}
$$
