Exercício 71, Capítulo 4, Fundamentos de Física Vol. 1: homem

Halliday & Resnick

Fundamentos de Física – 10^a Edição

Volume 1

Capítulo 4: Movimento em Duas e Três Dimensões

Exercício 71:

Enunciado:

Um homem de aparência suspeita corre o mais depressa que pode por uma esteira rolante, levando 2,5 s para ir de uma extremidade à outra. Os seguranças aparecem e o homem volta ao ponto de partida, correndo o mais depressa que pode e levando… para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.

Dados relevantes fornecidos no enunciado:

Item Único:

Nos é pedido a razão entre a velocidade do homem $v_{h}$ e da esteira $v_{e}$. Como precisamos das velocidades do homem e da esteira, temos que ter valores com dimensão de distância por tempo. Para isso, podemos chamar a distância da esteira (que o homem vai e volta) de $x$. Na ida, o homem corre no mesmo sentido em que a esteira corre e leva $2,5\;s$. Portanto, considerando o referencial no homem, podemos escrever:

$$
v_{h}+v_{e}=\frac{x}{2,5}
\tag{1}$$

Veja que chamando a distância da esteira de $x$, o lado direito da equação tem dimensão de velocidade (distância/tempo). Agora, podemos pensar na volta. Nesse caso, o homem corre na direção contrária da esteira. Desse modo, mantendo o referencial no homem, a velocidade da esteira será negativa. Escrevemos, portanto:

$$
v_{h}-v_{e}=\frac{x}{10}
\tag{2}$$

Da equação (1), isolamos $v_{h}$:

$$
v_{h}= \frac{x}{2,5}-v_{e}
\tag{3}$$

Substituindo a equação (3) em (1):

$$
\frac{x}{2,5}-v_{e}-v_{e}=\frac{x}{10}
\tag{4}$$

$$
-2v_{e}=\frac{x}{10}-\frac{x}{2,5}=\frac{x}{10}-\frac{4x}{10}=\frac{-3x}{10}
\tag{5}$$

$$
\boxed{v_{e}=\frac{3x}{20}}
\tag{6}$$

Agora, substituindo (6) em (2):

$$
v_{h}-\left ( \frac{3x}{20}\right)=\frac{x}{10}
\tag{7}$$

$$
\boxed{v_{h}=\frac{2x}{20}+\frac{3x}{20}= \frac{5x}{20}}
\tag{8}$$

Agora que temos as duas velocidades, podemos fazer a razão entre ela, que é o que exercício nos pede:

$$
\frac{v_{h}}{v{e}} = \frac{\frac{5x}{20}}{\frac{3x}{20}} = \frac{5x}{20}\cdot\frac{20}{3x}
\tag{9}$$

Perceba que o termo $x$ irá desaparecer da equação e portanto não precisamos do seu valor. Portanto, a razão resulta em:

$$
\boxed{\frac{v_{h}}{v{e}}=\frac{5}{3} \approx 1,67}
\tag{10}$$