Halliday & Resnick
Fundamentos de Física – 10a Edição
Volume 1
Capítulo 4: Movimento em Duas e Três Dimensões
Exercício 68:
Enunciado:
Um gato pula em um carrossel que descreve um movimento circular uniforme. No instante $t_{1}=2\,s$, a velocidade do gato é $\vec{v_1} = (3\;m/s)\hat{i}+(4\;m/s)\hat{j}$, medida em um sistema de coordenadas horizontal $xy$… para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.
Dados relevantes fornecidos no enunciado:
Item (a):
Nesse item, devemos calcular o módulo da aceleração centrípeta do gato. A primeira coisa que devemos determinar é o período do movimento circular. Para isso, perceba que entre os tempos $t_{1}$ e $t_{2}$, o vetor velocidade vai de $\vec{v}$ para $-\vec{v}$, ou seja, os vetores tem mesma direção mas sentidos opostos. Isso quer dizer que o gato, nesse intervalo de tempo, percorreu metade da circunferência uma vez que o vetor velocidade é sempre tangente a ela. Entendendo isso, podemos dizer que o período, ou seja, o tempo para percorrer a circunferência toda é de:
$$
T = 2 \cdot (t_{2}-t_{1}) = 2\cdot (5\;s – 2\;s) = 2\cdot3\;s = 6\;s
\tag{1}$$
Lembrando que queremos calcular o módulo da aceleração centrípeta, que é dada pela equação
$$
a = \frac{\vec{|v|}^{2}}{R}
\tag{2}$$
O módulo de $\vec{v}$ foi explicitado para ressaltar que nos foi dado o vetor $\vec{v}$, e precisamos calcular seu módulo:
$$
|\vec{v}| = \sqrt{(3\;m/s)^{2}+(4\;m/s)^{2}} = 5\;m/s
\tag{3}$$
Conhecendo o módulo de $\vec{v}$, perceba que não nos é dado o valor do raio da circunferência necessário para calcular a aceleração centrípeta. Para calcular o raio, podemos usar o período que calcular. Através da cinemática, sabemos que a velocidade é a distância percorrida dividido pelo tempo gasto para isso. No nosso caso circular, a distância para um período será o comprimento da circunferência dividido pelo tempo gasto, que é justamente o significado do período que deduzimos anteriormente, desse modo, temos:
$$
v = \frac{2\pi R}{T}
\tag{4}$$
Isolando o raio que queremos determinar, fica:
$$
R = \frac{vT}{2\pi} = \frac{5\;m/s \cdot 6\;s}{2\pi} = 4,77\;m
\tag{5}$$
Agora podemos calcular a aceleração centrípeta:
$$
\boxed{a = \frac{\vec{|v|}^{2}}{R} = \frac{(5\;m/s)^{2}}{4,77\;m} = 5,24\;m/s^{2}}
\tag{6}$$
Item (b):
Nesse item, nos é pedido o módulo da aceleração média $a_{m}$ do gato. A cinética nos diz que o vetor aceleração média pode ser escrita como:
$$
\vec{a_{m}} = \frac{\vec{v_{2}} – \vec{v_{1}}}{t_{2} – t_{1}}
\tag{7}$$
Como nos é dado todos esses parâmetros, podemos calcular diretamente:
$$
\vec{a_{m}} = \frac{(-3\hat{i}-4\hat{j})\;m/s\;\;-\;\; (3\hat{i}+4\hat{j})\;m/s}{5\;s – 2\;s} = (-2\hat{i}-2,67\hat{j})\;m/s^{2}
\tag{8}$$
Com isso, o módulo da aceleração média do gato é dado por:
$$
\boxed{|\vec{a_{m}}| = \sqrt{(-2\;m/s^{2})^{2}+(-2,67\;m/s^{2})^{2}} = 3,33\;m/s^{2}}
\tag{9}$$
