Halliday & Resnick
Fundamentos de Física – 10a Edição
Volume 1
Capítulo 4: Movimento em Duas e Três Dimensões
Exercício 87:
Enunciado:
Uma bola de beisebol é golpeada junto ao chão. A bola atinge a altura máxima 3,0 s após ter sido golpeada. Em seguida, 2,5 s após ter atingido a altura máxima, a bola passa rente a um alambrado que está a 97,5 m do ponto em que foi golpeada. Suponha que o solo seja plano.. para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.
Dados relevantes fornecidos no enunciado:
Esquema do que foi descrito no exercício.
Item (a):
Nesse item, nos é pedido a altura máxima que a bola atinge. Para isso, podemos decompor a velocidade da bola nas componentes x e y, como mostrado na Figura. Como nesse caso queremos a altura máxima, devemos utilizar a velocidade no eixo y, pois ele está relacionado com a altura b mostrado na Figura. Temos que a componente y da velocidade é dada por:
$$
v_{y} = v_{0y} + at
\tag{1}$$
No qual $v_{0y}$ é a velocidade inicial na componente y e $a$ é a aceleração, no caso, a da gravidade. No ponto mais alto da trajetória, a velocidade em y é zero pois é justamento o ponto que ela para de subir e está para começar a descer, portanto, temos:
$$
0 = v_{0y} – 10\cdot 3
\tag{2}$$
Perceba que a gravidade entrou com sinal negativo uma vez que nossa escolha de coordenadas tem o eixo y apontando para cima e a gravidade atua no sentido contrário. Com isso, temos:
$$
v_{0y} = 30\;m/s
\tag{3}$$
Fazendo agora a equação horária da posição para o eixo y, temos:
$$
s_{y} = s_{0y} + v_{0y}t – \frac{gt^{2}}{2}
\tag{4}$$
Como nosso eixo de coordenadas foi colocado de um modo que a bola sai da origem, $s_{0y}=0$ e portanto:
$$
s_{y} = 0 + 30\cdot3 – \frac{10\cdot3^{2}}{2}
\tag{5}$$
Perceba que $s_{y}$ é justamente o que chamamos de $b$ na Figura e é o que o exercício nos pede nesse item. Então:
$$
\boxed{s_{y}=b=90 – 45 = 45\;m}
\tag{6}$$
Item (b):
Agora, o exercício nos pede a altura ($h$) do alambrado. Para isso, basta resolvermos a equação horária da posição da bola no eixo y, mas dessa vez para um tempo $t=3\;s+2,5\;s = 5,5\;s$, como mostrado na Figura.
$$
s_{y} = 0 + 30\cdot5,5 – \frac{10\cdot(5,5)^{2}}{2}= h
\tag{7}$$
Resultando:
$$
\boxed{h=13,75\;m}
\tag{8}$$
Item (c):
Nos é pedido a distância que a bola atinge o chão a partir do alambrado, ou seja, a distância $L$ da Figura. Como no coordenada x não há aceleração atuando (já que a gravidade está apenas no eixo y), a equação horária da posição para o eixo x fica:
$$
s_{x}=s_{0x}+v_{0x}t
\tag{9}$$
Como a bola sai da origem do eixo de coordenada, $s_{0x} = 0$. Com isso, podemos calcular $v_{0x}$ utilizando a posição em 97,5m, uma vez nesse ponto nós sabemos também o tempo, 5,5s. Assim:
$$
97,5=v_{0x}\cdot 5,5
\tag{10}$$
$$
v_{0x} = 17,7\;m/s
\tag{11}$$
Para calcular L, agora podemos utilizar novamente a equação (9) para a trajetória toda:
$$
v_{0x}= \frac{s_{x}}{t}
\tag{12}$$
Agora, como estamos considerando a trajetória toda, podemos encontrar o tempo $t$ pensando que como até a altura mais alta da trajetória o tempo gasto é de 3s, a trajetória toda será de 6s uma vez que o resto da trajetória é a mesma que a primeira metade. $s_{x}$ podemos escrever como sendo a distância que já sabemos mais a distância que o item nos pede, ou seja, $s_{x}=97,5+L$.
$$
v_{0x}=\frac{97,5+L}{5,5} = 17,7
\tag{13}$$
Resultando então:
$$
\boxed{L=8,7\;m}
\tag{14}$$
