Exercício 7, Capítulo 9, Fundamentos de Física Vol. 1: amônia

Halliday & Resnick

Fundamentos de Física – 10^a Edição

Capítulo 9: Centro de Massa e Momento Linear

Exercício 7:

Enunciado:

Na molécula de amônia (NH$_3$) da Fig. 9-40, três átomos de hidrogênio (H) formam um triângulo equilátero, com o centro do triângulo a uma distância $d = 9,40 \times 10^{−11} \; m$ de cada átomo de hidrogênio. O átomo de nitrogênio (N) está no vértice superior de uma pirâmide, com os três átomos de hidrogênio formando a base. A razão entre as massas do nitrogênio e do hidrogênio é… para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.

Dados relevantes fornecidos no enunciado:

Item (a):

Nesse item, devemos calcular a coordenada $x$ do centro de massa da molécula ($x_{CM}$). A Figura 9-40 do livro mostra a molécula de amônia e os eixos de coordenada $x$ e $y$. Perceba que o átomo de nitrogênio está em $x=0$. Veja que os 3 átomos de hidrogênio formam um triângulo equilátero centrado em $x=0$, por simetria, o centro de massa dos 3 hidrogênios também é em $x=0$. Portanto, a componente $x$ do centro de massa da molécula é:

$$
\boxed{x_{CM}=0}
\tag{1}$$

Item (b):

Agora, devemos calcular a coordenada $y$ do centro de massa ($y_{CM}$). Perceba que $y_{CM}$ será entre os átomos de hidrogênio e o átomo de nitrogênio. Mais precisamente, será uma média ponderada pela massa de cada átomo. Podemos escrever que, em relação ao centro de massa $y_{CM}$ é:

$$
y_{CM} = \frac{3m_Hy_H+ m_Ny_N}{M_{total}} = \frac{m_N y_N}{3m_H + m_N}
\tag{2}$$

No qual a segunda igualdade se dá pelo fato de que a base do triângulo com os 3 hidrogênios estão em $y_H=0$.O termo $y_N$ é a distância do átomo de nitrogênio com relação ao plano dos 3 átomos de hidrogênio. Podemos calcular esse termo usando o teorema de Pitágoras, no qual um dos catetos é $d$ e a hipotenusa é $L$, de modo que:

$$
L^2=d^2+y_N^2 \Longrightarrow y_N^2=L^2-d^2
\tag{3}$$

$$
y_N = \sqrt{(10,14\times10^{-11}\;m)^2-(9,4\times10^{-11}\;m)^2}=3,8\times10^{-11}\;m
\tag{4}$$

Perceba que temos apenas a informação sobre a razão entre as massas. Se dividirmos por $m_H$ ambos numerador e denominador da Equação (2), ficamos com:

$$
y_{CM} = \frac{(m_N/m_H)y_N}{3+(m_N/m_H)}
\tag{5}$$

Agora, a razão das massas que aparece na Equação (5) nos é informado. Substituindo os valores, chegamos ao resultado final:

$$
\boxed{y_{CM} = \frac{13,9(3,8\times10^{-11}\;m)}{3+13,9} = 3,13\times10^{-11}\;m}
\tag{6}$$