Halliday & Resnick
Fundamentos de Física – 10a Edição
Capítulo 9: Centro de Massa e Momento Linear
Exercício 8:
Enunciado:
Uma lata homogênea tem massa de 0,140 kg, altura de 12,0 cm e contém 0,354 kg de refrigerante (Fig. 9-41). Pequenos furos são feitos na base e na tampa (com perda de massa desprezível) para drenar o líquido. Qual é a altura $h$ do centro de massa da lata (incluindo o conteúdo) (a) inicialmente e (b) após a lata ficar vazia? (c) O que acontece com $h$ enquanto o refrigerante está … para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.
Dados relevantes fornecidos no enunciado:
Item (a):
A Figura 9-41 do livro ilustra o problema do enunciado. Nesse item, nos é perguntado qual a altura $h$ do centro de massa da lata incluindo o refrigerante no momento inicial, ou seja, quando a lata está completa de refrigerante. Como tanto a lata quanto o líquido são homogêneos, o centro de massa dos dois estarão no seu centro geométrico a uma distância $x/2$ acima da base da lata. Quando a lata está cheia, os dois centros geométricos se coincidem. Assim, o centro de massa do conjunto está no eixo do cilindro e a uma distância $h$ acima da base dada por:
$$
h = \frac{M(H/2)+m(H/2)}{M+m} = \frac{H/2(m+M)}{m+M} = \frac{H}{2}
\tag{1}$$
Uma vez que o líquido e a lata tem a mesma altura (H/2) nesse caso.
Portanto, a altura $h$ do centro de massa do sistema lata+líquido será de:
$$
\boxed{h = \frac{H}{2}=\frac{12\;cm}{2} = 6\;cm}
\tag{2}$$
Item (b):
Nesse item, devemos calcular a altura do centro de massa $h$ para o momento em que a lata está vazia. Com a lata vazia, o centro de massa está no eixo do cilindro a uma altura $h$ também dada por:
$$
\boxed{h = \frac{H}{2}=\frac{12\;cm}{2}=6\;cm}
\tag{3}$$
Como tanto a massa e o líquido são homogêneos, perceba que com a lata totalmente cheia ou totalmente vazia, o centro de massa não muda, mesmo a massa total do sistema mudando.
Item (c):
Nesse item, queremos saber o que acontece com $h$ enquanto o refrigerante está sendo drenado. Perceba que a lata cheia e vazia (os extremos da pergunta desse item) faz com que o centro de massa seja o mesmo. Mas imagine que tem metade do líquido na lata (momento intermediário). Nesse caso, terá mais massa na metade inferior do sistema e com isso, podemos imaginar que a altura $h$ do centro de massa será menor do que $H/2$. Então, podemos concluir que a altura do centro de massa deve diminuir quando o líquido começa a ser drenado e depois começa a subir novamente até retornar a $H/2$ quando a lata fica totalmente vazia.
Item (d):
Nesse item, ele define $x$ como sendo a altura que ainda resta do refrigerante em um dado momento e pede para determinar o valor de $x$ no instante em que a altura do centro de massa atinge seu menor valor.
Como estamos pensando em centro de massa, precisamos escrever a massa do líquido quando ele está a uma altura x na lata ($m_r$). Podemos escrever uma relação linear dada por:
$$
m_r = m\frac{x}{H}
\tag{4}$$
No qual $m$ é a massa total de refrigerante. Veja que quando $x=H$, ou seja, a lata está completamente cheia, a massa resulta a massa total do líquido. Agora, podemos calcular a altura do centro de massa para quando o líquido está a uma altura x, ou seja, o centro de massa do líquido está a uma altura $x/2$:
$$
h = \frac{M(H/2)+m_r(x/2)}{M+m_r} = \frac{M(H/2)+m(x/H)(x/2)}{M+(mx/H)} = \frac{MH^2+mx^2}{2(MH+mx)}
\tag{5}$$
No qual multiplicamos por H ambos numerador e denominador na última igualdade. Para determinar o valor de x para o qual o centro de massa atinge o ponto mais baixo, derivamos $h$ em relação a $x$ e igualamos a zero. Portanto, temos:
$$
\frac{dh}{dx} = \frac{2mx(2MH+2mx)-2m(MH^2+mx^2)}{4(MH+mx)^2}
\tag{6}$$
Usamos a regra do quociente na derivada da Equação (5). Abrindo os termos do numerador e reorganizando, temos:
$$
\frac{dh}{dx} = \frac{m^2x^2+2MHmx-MH^2m}{2(MH+mx)^2} = 0
\tag{7}$$
Chegamos a uma equação do segundo grau em $x$ no numerador. Como queremos zerar a derivada, como mostrado na Equação (7), basta encontrarmos a raízes da equação de segundo grau dada por $m^2x^2+2MHmx-MH^2m=0$. Utilizando a fórmula de Bhaskara, temos:
$$
x = \frac{-(2MHm) \pm \sqrt{(2MHm)^2-4(m^2)(-MH^2m)}}{2m^2}
\tag{8}$$
A expressão da raíz quadrada fica:
$$
\sqrt{4M^2H^2m^2+4MH^2m^3} = \sqrt{4M^2H^2m^2(1+m/M)} = 2MHm\sqrt{1+m/M}
\tag{9}$$
Voltando a Equação (8):
$$
x = \frac{-2MHm \pm 2MHm\sqrt{1+m/M}}{2m^2} = \frac{MH}{m}\left(-1 \pm \sqrt{1+\frac{m}{M}}\right)
\tag{10}$$
Perceba que só faz sentido valores positivos de $x$ e portanto, apenas o sinal positivo da Equação (10) nos dá $x$ positivo. Substituindo os valores, temos:
$$
x = \frac{(0,14\;kg)(12\;cm)}{0,354\;kg}\left(-1 + \sqrt{1+\frac{0,354\;kg}{0,14\;kg}}\right) = 4,17\;cm
\tag{11}$$
Essa ainda não é nossa resposta final. Nós calculamos a altura do refrigerante para para a altura do centro de massa ser mínimo. Agora temos que substituir esse valor na Equação (5) para calcular a altura mínima do centro de massa:
$$
h = \frac{MH^2+mx^2}{2(MH+mx)} = \frac{}{2}
\tag{12}$$
O que nos leva finalmente a resposta final:
$$
\boxed{h=4,16\;cm}
\tag{13}$$
