Moysés Nussenzveig
Curso de Física Básica – 4a Edição
Capítulo 1: Estática dos Fluidos
Exercício 6:
Enunciado:
Um reservatório tem a forma de um prisma, cujas faces ABCD e AʹBʹCʹDʹ são trapézios isósceles com as dimensões indicadas na Figura P.5; as demais faces são retangulares. O reservatório está cheio até o topo de um líquido com densidade $\rho$… para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.
Dados relevantes fornecidos no enunciado:
Item (a):
A pressão exercida na base depende da altura da coluna de líquido. Sabendo que a altura do reservatório é $h$, e que ele está cheio até o topo, a pressão na base é:
$$
P = \rho g h
\tag{1}$$
A força $F$ é dada por $F = P A$, onde $A$ é a área sobre a qual a força é exercida. Considerando a figura mostrada no exercício, a área da base é simplesmente $A = ab$, logo podemos escrever $F$ como:
$$
\boxed{F = \rho g h a b}
\tag{2}$$
Item (b):
Segundo o livro, a força exercida sobre uma área sob pressão de um líquido é:
$$
d\vec{F} = -P\hat{n}dA
\tag{3}$$
Onde $P$ é a pressão, $\hat{n}$ é o vetor unitátio normal à superfície, e $dA$ o elmento de área. Para calcular a força resultante sobre todas as paredes, devemos usar a equação anterior para calcular a força em todas as paredes do reservatório e somar os resultados.
Note que algumas das forças não precisam ser calculadas:
Nos resta, então, calcular a força sobre as paredes inclinadas.
Considerando a equação 3, podemos escrever:
$$
d\vec{F} = – \rho g h \hat{n} dA
\tag{4}$$
No caso dessas paredes inclinadas, a área é simplesmente $A = b l$, logo podemos escrever o elemento de área como
$$
dA = bdl
\tag{5}$$
Entretanto, perceba que podemos escrever, a partir da figura, a seguinte relação:
$$
\sin{\theta} = \frac{h}{l}
\tag{6}$$
Ou seja:
$$
l = \frac{h}{\sin{\theta}}
\tag{7}$$
O que nos permite escrever, já que o ângulo é fixo:
$$
dl = \frac{dh}{\sin{\theta}}
\tag{8}$$
Portanto o elemento de área é:
$$
dA = b\frac{dh}{\sin{\theta}}
\tag{9}$$
Substituindo a equação 9 na equação 4, temos então:
$$
d\vec{F} = – \rho g h \hat{n} b \frac{dh}{\sin{\theta}}
\tag{10}$$
Integrando de ambos os lados, temos:
$$
\vec{F} = -\hat{n}\frac{\rho g b}{\sin{\theta}} \int h dh =-\hat{n} \frac{\rho g b h^2}{2\sin{\theta} }
\tag{11}$$
Lembrando da equação 7, podemos substituir $h^2$ na expressão acima por $h^2 = h l / \sin{\theta}$ resultando na expressão para a força em uma das paredes inclinadas:
$$
\vec{F} = -\hat{n} \frac{\rho g b l h}{2}
\tag{12}$$
Perceba, pela figura abaixo, que devido a inclinação da parede, podemos decompor essa força em duas componentes:
Figura 1: Força normal à parede, com suas componentes e os ângulos envolvidos.
As componentes horizontais de ambas as paredes se anulam (tal qual o caso das paredes que não são inclinadas); já as componentes verticais se somam. Ainda considerando a figura, podemos escrever o valor da componente vertical em cada uma delas como:
$$
F_{inclinada} = \frac{\rho g b l h}{2} \cos{\theta}
\tag{13}$$
Além disso, existe a força exercida sobre a parede inferior (a base), calculada no item anterior. Portanto, podemos somar essas 3 componentes (base e forças sobre as paredes inclinadas) e obter a força resultante:
$$
\vec{F}_R = \vec{F}_{base} + 2 \vec{F}_{inclinada}
\tag{14}$$
O que resulta em:
$$
\vec{F}_R = \rho g h b a – 2 \left(\frac{\rho g b l h}{2} \cos{\theta}\right)
\tag{15}$$
Ou seja, a força resultante é:
$$
\boxed{\vec{F}_R = \rho g h b( a – l \cos{\theta})}
\tag{16}$$
Para prosseguir com esse item, precisamos calcular o peso do lìquido. Ele é simplesmente dado pelo volume do reservatório multiplicado pela densidade $\rho$.
O volume desse reservatório é obtido calculando a área de uma das faces verticais, e a multiplicando por $b$. Sabemos que um trapézio tem a área dada por:
$$
A = \frac{c + d}{2} h
\tag{17}$$
Onde $c$ e $d$ são as larguras das bases, e $h$ a altura. Considere a figura abaixo:
Figura 2: Visão frontal da base do prisma.
Sabemos a medida de uma das bases, a mais larga, que é dada no exercício como $a$. Nós precisamos então determinar o valor de $x$ na figura. Note que $x$ pode ser escrito como $x = a – 2y$, onde $y$ também é mostrado na figura.
Sabemos que $y = l \cos{\theta}$, logo:
$$
x = a – 2 l \cos{\theta}
\tag{18}$$
Sendo assim a área é:
$$
A = \left(\frac{a + a – l\cos{\theta}}{2}\right) h = (a – l\cos{\theta}h)
\tag{19}$$
Multiplicando a expressão acima por $b$, nos dá o volume, multiplicando o volume por $\rho$ nos dá a massa de líquido, que multiplicada por $g$ nos dá o peso:
$$
\boxed{F_{peso} = \rho g h b (a – l\cos{\theta})}
\tag{20}$$
Ou seja, o peso do líquido é igual à força resultante sobre as paredes do reservatório.
