Halliday & Resnick
Fundamentos de Física – 10a Edição
Volume 1
Capítulo 5: Força e Movimento I
Exercício 68:
Enunciado:
Um arremessador de peso lança um peso de 7,260 kg empurrando-o ao longo de uma linha reta com 1,650 m de comprimento e um ângulo de $34,10^\circ$ com a horizontal, acelerando o peso até a velocidade de lançamento de 2,500 m/s (que se deve ao movimento preparatório do atleta). O peso … para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.
Dados relevantes fornecidos no enunciado:
Item Único:
O exercício nos pede o módulo da força média que o atleta exerce sobre o peso durante a fase de aceleração. Para encontrarmos a força, precisa determinar a aceleração do peso. Como não temos informação sobre tempo, temos que determinar a aceleração através da equação de Torricelli:
$$
a = \frac{v’^2-v_0^2}{2\Delta s}
\tag{1}$$
Perceba que não temos uma das velocidades. O exercício nos dá a velocidade que o peso sai da mão do atleta, mas vamos analisar a equação do movimento balístico dado na equação 4-25 do capítulo anterior, que descreve como a posição do objeto em y como função de x, que forma uma parábola. Essa equação é deduzida considerando um movimento com velocidade constante em x e um movimento com aceleração constante em y (devido a gravidade). A equação da trajetória é dada por:
$$
y-y_0 = (tan\theta_0)x-\frac{gx^2}{2(v’cos\theta_0)^2}
\tag{2}$$
Aqui, v’ é a velocidade no começo do movimento balístico, ou seja, a velocidade que o peso sai da mão do atleta, supostamente dado no enunciado. Mas perceba que todos os outros termos nós também conhecemos. y é a posição no fim do arremesso, ou seja, quando o peso chega ao chão (y=0). $y_0$ é a altura no começo do lançamento, ou seja, $y_0 = 2,11\;m$. x é o alcance máximo na horizontal, ou seja, $x=15,90\;m$, o ângulo do lançamento também é dado, $\theta_0 =34,1^\circ$, g é a aceleração da gravidade. Portanto, podemos isolar a velocidade v’, e com isso temos:
$$
v’ = \sqrt{\frac{-gx^2}{2cos^2\theta_0(y-y_0-tan\theta_0)}}
\tag{3}$$
Substituindo os valores, fica:
$$
v’ = \sqrt{\frac{-(9,8)(15,90)^2}{2cos^2(34,1^\circ)(0-2,11-tan(34,1^\circ))}} = 11,85\;m/s
\tag{4}$$
Perceba que calculando a velocidade com que o peso sai da mão do atleta com informações do exercício, ela é diferente da que é dita no exercício. Então, vamos supor que o exercício quis dizer que a velocidade de 2,5 m/s é a velocidade inicial do começo da aceleração do peso na mão do atleta. Desse modo podemos aplicar a equação (1):
$$
a = \frac{v’^2-v_0^2}{2\Delta s} = \frac{(11,85\;m/s)^2-(2,5\;m/s)^2}{2(1,65\;m)} = 40,63\;m/s^2
\tag{5}$$
Agora que determinamos a aceleração, podemos calcular a força, pedida no exercício. O diagrama de forças usando a dica do exercício fica (é o mesmo diagrama do exercício 5-62):
Figura 1: Diagrama de forças do exercício.
A força resultante na direção da aceleração (eixo x no diagrama) é dada por:
$$
F_{res} = F – mgsen\theta
\tag{6}$$
Perceba que a força resultante deve ser a força cujo peso esteja com aceleração calculada na equação (5), ou seja, $F_{res}=ma$. Queremos determinar a força F que é a força que o atleta está aplicando no peso, ficando então:
$$
F = F_{res}+mgsen\theta = ma + mgsen\theta = m(a+gsen\theta)
\tag{7}$$
Substituindo os valores:
$$
\boxed{F = ma + mgsen\theta = 7,260\;kg = 335\;N}
\tag{8}$$
