Exercício 24, Capítulo 16, Fundamentos de Física Vol. 2: corda

Halliday & Resnick

Fundamentos de Física – 10^a Edição

Capítulo 16: Ondas-I

Exercício 24:

Enunciado:

Na Fig. 16-36a, a corda 1 tem uma massa específica linear de 3,00 g/m e a corda 2 tem uma massa específica linear de 5,00 g/m. As cordas estão submetidas à tração produzida por um bloco suspenso, de massa M = 500 g. Calcule a velocidade da onda (a) na corda 1 e (b) na corda 2. … para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.

Dados relevantes fornecidos no enunciado:

Item (a):

Nesse item, o exercício nos pede para calcular a velocidade da corda 1. A Figura 16-36a do livro exemplifica a situação. Perceba que com a tração feita pelo bloco é dividida entre as duas cordas pela polia mais abaixo, o peso que a corda 1 sentirá será metade do peso do bloco:

$$
\tau = \frac{Mg}{2}
\tag{1}$$

Usando a equação de velocidade da onda na corda, teremos que a velocidade da onda na corda 1 será:

$$
\boxed{v_1 = \sqrt{\frac{\tau}{\mu_1}} = \sqrt{\frac{Mg}{2\mu_1}} = \sqrt{\frac{(500\;g)(9,8\;m/s^2)}{2(3\;g/m)}} = 28,6\;m/s}
\tag{2}$$

Item (b):

Agora, o exercício nos pede para calcular a velocidade para a corda 2. Para isso, faremos o mesmo procedimento do item anterior, com a tração dada novamente pela Equação (1):

$$
\boxed{v_2 = \sqrt{\frac{\tau}{\mu_2}} = \sqrt{\frac{Mg}{2\mu_2}} = \sqrt{\frac{(500\;g)(9,8\;m/s^2)}{2(5\;g/m)}} = 22,1\;m/s}
\tag{3}$$

Item (c):

Agora, o exercício nos diz que o bloco foi dividido em dois de modo que $M_1 + M_2 = M$ e o novo sistema é mostrado na Figura 16-36(b) do livro. Devemos determinar $M_1$ para a as velocidades das ondas nas duas cordas sejam iguais. Portanto, podemos assumir que $v_1=v_2$ e, portanto:

$$
v_1 = v_2 \Longrightarrow \sqrt{\frac{M_1g}{2\mu_1}} = \sqrt{\frac{M_2g}{2\mu_2}}
\tag{4}$$

Perceba que agora cada velocidade está relacionada a sua respectiva massa do bloco ligada a sua corda. Agora, podemos isolar uma das massa, digamos $M_1$:

$$
M_1\mu_2 = \mu_1M_2
\tag{5}$$

Usando agora que $M_1+M_2 = M$, ou seja, $M_2 = M-M_1$ na expressão acima:

$$
M_1\mu_2 = (M-M_1)\mu_1 \Longrightarrow M_1(\mu_2+\mu_1) = M\mu_1 \Longrightarrow M_1 = \frac{M\mu_1}{\mu_1+\mu_2}
\tag{6}$$

Substituindo os valores numéricos:

$$
\boxed{M_1 = \frac{(500\;g)(3\;g/m)}{(3+5)\;g/m} = 187,5\;g}
\tag{7}$$

Item (d):

Nesse item, devemos calcular a massa de $M_2$. Sabendo a massa $M_1$, basta usarmos que $M = M_1+M_2$ e resultaremos em:

$$
\boxed{M_2 = M-M_1 = 500\;g – 187,5\;g = 312,5\;g}
\tag{8}$$