Exercício 64, Capítulo 4, Fundamentos de Física Vol. 1: partícula

Item (a):

Nos é pedido a coordenada $x$ do centro da trajetória. Primeiramente, devemos saber que o vetor aceleração em um movimento circular uniforme aponta sempre para o centro do círculo feito pela trajetória da partícula. Agora, perceba que o enunciado nos diz que a aceleração na coordenada $(4\;m,4\;m)$ tem apenas a componente na direção y para cima. Isso indica que estamos na parte da trajetória com menor valor de y e no valor central de x, uma vez que apenas nesse ponto é que a aceleração não tem uma coordenada diferente de zero para essa direção. Desse modo, a coordenada x do centro da trajetória é

$$
\boxed{x_{central} = 4\;m}
\tag{1}$$

Item (b):

Agora, precisamos encontrar a coordenada y do centro da trajetória. Como foi deduzido no item anterior que a partícula na posição dada no enunciado está em um mínimo da coordenada y, basta agora encontrarmos o raio da circunferência $r$ e somarmos com o valor de y no mínimo:

$$
y_{central} = 4\;m + r
\tag{2}$$

O raio da circunferência pode ser calculado através da relação entre a velocidade e a aceleração centrípeta de uma partícula em movimento circular uniforme, dada pela equação abaixo, já isolando o raio:

$$
r = \frac{v^{2}}{a}
\tag{3}$$

Essa equação é consequência da consideração de uma força central atuando na partícula para que o movimento se mantenha circular.

Uma vez que a aceleração só tem componente em y, temos:

$$
r = \frac{(5\;m/s^{2})^{2}}{12,5\;m/s^{2}} = 2\;m
\tag{4}$$

De modo que a coordenada y do centro da circunferência é dado por:

$$
\boxed{y_{central} = 4\;m + 2\;m = 6\;m}
\tag{5}$$