Halliday & Resnick
Fundamentos de Física – 10a Edição
Capítulo 17: Ondas-II
Exercício 67:
Enunciado:
Uma menina está sentada perto da janela aberta de um trem que viaja para leste a uma velocidade de $10,00 \; m/s$. O tio da menina está parado na plataforma e observa o trem se afastar. O apito da locomotiva produz um som com uma frequência de 500,0 Hz. O ar está parado. (a) Que frequência… para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.
Dados relevantes fornecidos no enunciado:
Item (a):
Devemos calcular que frequência o tio ouve nessa situação. Para isso, usamos a equação geral do Efeito Doppler:
$$
f’ = f\left(\frac{v\pm v_D}{v\pm v_F}\right)
\tag{1}$$
Como o tio da menina está parado na platorma, sua velocidade é nula ($v_D=0$). A velocidade da fonte será a velocidade do trem ($v_F=10\;m/s$). Como a fonte (trem) está se distanciando do observador (tio), o sinal de $v_F$ deve ser tal que a frequência $f’$ diminua, ou seja, teremos o sinal positivo no denominador:
$$
\boxed{f’ = (500\;Hz)\left(\frac{343\;m/s}{343\;m/s+10\;m/s}\right) = 486\;Hz}
\tag{2}$$
Item (b):
Agora, devemos calcular que frequência a menina ouve. Como a menina está dentro do trem, sua velocidade e a do trem são a mesma em relação ao ar que está parado. Se o som foi emitido num dado momento, a menina está em direção ao som (como ela é a detectora, o sinal deve ser positivo no numerador). Já o trem está se afastando da posição do apito quando ele foi acionado simplesmente porquê ele está em movimento, com isso, a frequência deve ser menor e portanto, devemos ter um sinal positivo no denominador. Assim, resutamos em:
$$
\boxed{f’ = (500\;Hz)\left(\frac{343\;m/s+10\;m/s}{343\;m/s+10\;m/s}\right) = 500\;Hz}
\tag{3}$$
Ou seja, para quem se move juntamente com o trem, a frequência ouvida é a mesma do apito.
Item (c):
Agora, o exercício nos diz que um vento vindo do leste começa a soprar a uma velocidade de $10\;m/s$ e devemos calcular que frequência o tio passa a ouvir agora. Se o vento vem do leste, ele está indo de encontro com o trem. Então, no referencial do vento, o trem tem velocidade $v_F=10\;m/s+10\;m/s=20\;m/s$ e está se afastando do tio, como nos itens anteriores, com isso, o denominador deve ter sinal positivo para diminuir a frequência do apito. Já o tio se move a uma velocidade de $v_D=10\;m/s$, uma vez que ele está parado no referencial da plataforma e, no referencial do vento, ele está se movendo na direção da locomotiva (veja, como o vento está indo na direção contrária do trem, no referencial do vento o tio está se movendo na mesma direção do trem). Com isso, o sinal do numerador deve ser positivo de modo a aumentar a frequência. Assim, temos:
$$
\boxed{f’ = (500\;Hz)\left(\frac{343\;m/s+10\;m/s}{343\;m/s+20\;m/s}\right) = 486\;Hz}
\tag{4}$$
Item (d):
Agora, devemos considerar a mesma situação do item anterior, mas calcular a frequência que a menina que está no trem ouve. É a mesma situação do que foi discutido no item (c). O trem se move a $v_F=20\;m/s$ em relação ao ar e se afasta de onde o apito foi dado. Portanto, o sinal do denominador deve ser positivo. A menina, por estar no trem, também está a velocidade $v_D=20\;m/s$ mas ela está indo na direção do local em que o apito da locomotiva apitou. Com isso, o sinal do numerador deve ser positivo uma vez que ela como detector indo na direção do sinal tende a ouví-lo com frequências maiores. Assim, ficamos com:
$$
\boxed{f’ = (500\;Hz)\left(\frac{343\;m/s+20\;m/s}{343\;m/s+20\;m/s}\right) = 500\;Hz}
\tag{5}$$
Perceba que tanto para o tio quanto para a menina, a velocidade do vento não teve influência na frequência que eles ouviram o apito mesmo levando ele em conta.
