Exercício 21, Capítulo 18, Fundamentos de Física Vol. 2: rachadura

Halliday & Resnick

Fundamentos de Física – 10^a Edição

Capítulo 18: Temperatura, Calor e a Primeira Lei da Termodinâmica

Exercício 21:

Enunciado:

Como resultado de um aumento de temperatura de $32^{\circ}C$, uma barra com uma rachadura no centro dobra para cima (Fig. 18-32). Se a distância fixa $L_0$ é 3,77 m e o coeficiente de dilatação linear da barra… para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.

Dados relevantes fornecidos no enunciado:

Item Único:

Devemos determinar a altura $x$ que a barra dobrou. A Figura 18-32 do livro ilustra o problema. Podemos considerar apenas metade da barra, com novo comprimento de $l_0=L_0/2$, uma vez que assim podemos aplicar o Teorema de Pitágoras. O tamanho da metade considerada da barra irá aumentar de acordo com o coeficiente de dilatação, dado por:

$$
l = l_0+\alpha l_0 \Delta T
\tag{1}$$

Perceba que o Teorema de Pitágoras terá $l$ como hipotenusa, $l_0$ e $x$ como catetos, ou seja:

$$
l^2 = l_0^2+x^2 = (l_0+\alpha l_0 \Delta T)^2
\tag{2}$$

No qual na última igualdade, substituímos a Equação (1). Rearranjando os termos e isolando $x$, temos:

$$
x^2 = l_0^2(1+\alpha\Delta T)^2-l_0^2
\tag{3}$$

Como a variação do comprimento é pequena, podemos usar a aproximação $(1+\alpha\Delta T)^2\approx1+2\alpha\Delta T$, que equivale a desprezar o termo $(\alpha\Delta T)^2$ uma vez que esse termo seria 6 ordens de grandeza menor do que os termos lineares em $\alpha$. Substituindo essa aproximação na Equação (3):

$$
x^2 = l_0^2 + 2l_0^2\alpha\Delta T – l_0^2 = 2l_0^2\alpha\Delta T
\tag{4}$$

Ou seja:

$$
x = l_0\sqrt{2\alpha\Delta T}
\tag{5}$$

Substituindo os valores dado no exercício:

$$
\boxed{x = \frac{3,77\;m}{2}\sqrt{2(25\times10^{-6})(32^{\circ}C)} = 7,5\times10^{-2}\;m = 7,5\;cm}
\tag{6}$$