Exercício 65, Capítulo 5, Fundamentos de Física Vol. 1: Atwood

Halliday & Resnick

Fundamentos de Física – 10^a Edição

Volume 1

Capítulo 5: Força e Movimento I

Exercício 65:

Enunciado:

A Fig. 5-47 mostra uma máquina de Atwood, na qual dois recipientes estão ligados por uma corda (de massa desprezível) que passa por uma polia sem atrito (também de massa desprezível). No instante $t = 0$, o recipiente 1 tem massa de 1,30 kg e o recipiente 2 tem massa de 2,80 kg,… para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.

Dados relevantes fornecidos no enunciado:

Item (a):

A figura 5-47 mostra a máquina de Atwood do exercício. Os dois recipientes estão presos por uma corda passando por uma polia. Nos é perguntado a taxa do módulo da aceleração dos recipientes em $t=0$.

Figura 1: Diagrama de corpo livre dos recipientes.

Perceba que $\vec{F}_2$ é maior que $\vec{F}_1$ uma vez que a massa $m_2$ é maior que que $m_1$. A aceleração é a mesma com sentido diferente porque enquanto um recipiente sobe o outro necessariamente deve descer, as trações são as mesmas devido a condição dos recipientes estarem preso por uma corda. Agora, podemos aplicar a segunda Lei de Newton para os dois corpos:

$$
T – m_1g = m_1a
\tag{1}$$

$$
m_2g-T = m_2a
\tag{2}$$

Somando as duas equações termo a termo, temos:

$$
T-m_1g + m_2g-T = a(m_1+m_2)
\tag{3}$$

Resultando:

$$
a = \left(\frac{m_2-m_1}{m_2+m_1}\right)g
\tag{4}$$

Não queremos a aceleração, mas sim sua variação em função do tempo uma vez que o recipiente dois está perdendo massa. Portanto, queremos calcular $da/dt$. Mas veja que nossa expressão para a aceleração não tem o fator tempo. Podemos então aplicar a regra da cadeia e escrever:

$$
\frac{da}{dt} = \frac{da}{dm_1}\frac{dm_1}{dt}
\tag{5}$$

Agora sim podemos derivar a expressão (4) para a aceleração em função de $m_1$. Como temos $m_1$ no denominador, devemos usar a regra do quociente:

$$
\frac{da}{dm_1} = \frac{-g(m_2+m_1)-g(m_2-m_1)}{(m_2+m_1)^2} = \frac{-2m_2g}{(m_2+m_1)^2}
\tag{6}$$

O termo $dm_1/dt$ para $t=0$, que é o instante de tempo pedido nesse item, nos é dado e portanto, temos:

$$
\frac{da}{dt} = \frac{da}{dm_1}\frac{dm_1}{dt} = \frac{-2m_2g}{(m_2+m_1)^2} \frac{dm_1}{dt} = -\frac{2(2,8\;kg)(9,8\;m/s^2)}{(2,8\;kg+1,3\;kg)^2}(-0,2\;kg/s)
\tag{7}$$

Fazendo a conta, temos:

$$
\boxed{\frac{da}{dt}=0,653\;m/s^3}
\tag{8}$$

Item (b):

Nesse item, queremos calcular a taxa do módulo da aceleração mas dessa vez para um tempo $t=3\;s$. Lembre-se que a massa do recipiente 1 está variando com o tempo, então devemos calcular a massa que ele vai ter depois de 3 segundos:

$$
m_1(t=3\;s) = m_1(t=0) + (dm_1/dt)t = 1,3\;kg + (-0,2\;kg/s)(3\;s) = 0,7\;kg
\tag{9}$$

Com essa nova massa $m_1$, calculamos a variação da aceleração da mesma forma que no item anterior:

$$
\frac{da}{dt}=\frac{da}{dm_1}\frac{dm_1}{dt} = \frac{-2m_2g}{(m_2+m_1)^2}\frac{dm_1}{dt} = -\frac{2(2,8\;kg)(9,8\;m/s^2)}{(2,8\;kg+0,7\;kg)^2}(-2\;kg/s)
\tag{10}$$

Que resulta:

$$
\boxed{\frac{da}{dt}=0,896\;m/s^3}
\tag{11}$$

Repare que a aceleração está cada vez maior. Isso faz sentido pois a massa do recipiente 2 já era maior. Com a massa $m_1$ diminuindo cada vez mais, o recipiente 2 consegue descer cada vez mais rápido.

Item (c):

Esse item nos pergunta justamente o instante de tempo em que a aceleração atinge o valor máximo. Seguindo o raciocínio do final do item anterior, o recipiente 2 vai acelerar o mais rápido possível quando não tiver peso nenhum tracionando a corda do outro lado. Portanto, o valor máximo da aceleração será quando $m_1 = 0$:

$$
m_1 = m_1(t=0) + (dm_1/dt)t = 0
\tag{12}$$

$$
1,3\;kg+(-0,2\;kg/s)t = 0
\tag{13}$$

Resolvendo para t:

$$
\boxed{t = 6,5\;s}
\tag{14}$$