Halliday & Resnick
Fundamentos de Física – 10a Edição
Capítulo 19: A Teoria Cinética dos Gases
Exercício 63:
Enunciado:
A Fig. 19-27 mostra o ciclo a que é submetido 1,00 mol de um gás ideal monoatômico. As temperaturas são $T_1 = 300\; K$, $T_2 = 600 \;K$ e $T_3 = 455 \;K$. Determine (a) o calor trocado $Q$, (b) a variação de energia interna $\Delta E _{int} e (c) o trabalho realizado… para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.
Dados relevantes fornecidos no enunciado:
Item (a):
O ciclo é mostrado na Figura 19-27 do livro, num gráfico de pressão x volume. Nesse item, devemos calcular o calor $Q$ trocado na trajetória $1\longrightarrow2$. Segundo a Equação 19-39 do livro, quando estamos a volume constante (nosso caso), o calor é dado por:
$$
Q = n c_V\Delta T
\tag{1}$$
Como temos um aumento da temperatura a volume constante, podemos dizer que o calor foi adicionado. Sabemos também que:
$$
c_V = \frac{3}{2}R
\tag{2}$$
O que nos resulta em:
$$
Q = \frac{3}{2}nR\Delta T
\tag{3}$$
Substituindo os valores:
$$
\boxed{Q = \frac{3}{2}(1\;mol)(8,31\;J/molK)(600\;K-300\;K) = 3,74\;kJ}
\tag{4}$$
Item (b):
Nessa mesma trajetória, devemos calcular agora a variação da energia interna $\Delta E_{int}$. Como se trata de um processo a volume constante, o trabalho realizado pela gás é zero. Portanto, de acordo com a primeira Lei da Termodinâmica, temos:
$$
\boxed{\Delta E_{int} = Q = 3,74\;kJ}
\tag{5}$$
Item (c):
Nessa mesma trajetória, devemos calcular o trabalho $W$ realizado. Como já foi dito, o trabalho realizado em um processo a volume constante é zero:
$$
\boxed{W=0}
\tag{6}$$
Item (d):
Agora, nos próximos itens, devemos calcular as mesmas grandezas dos itens anteriores, mas dessa vez para a trajetória $2\longrightarrow3$. Nesse item devemos calcular o calor adicionado nesse processo. Como temos um processo adiabático, o calor é nulo:
$$
\boxed{Q = 0}
\tag{7}$$
Item (e):
A variação da energia interna será dada pela Equação (3):
$$
\boxed{\Delta E_{int} = \frac{3}{2}nR\Delta T = \frac{3}{2}(1\;mol)(8,31\;J/molK)(455\;K-600\;K) = -1,81\;kJ}
\tag{8}$$
Item (f):
De acordo com a primeira Lei da Termodinâmica, podemos relacionar o trabalho com as grandezas calculadas anteriormente:
$$
\boxed{W = Q – \Delta E_{int} = 1,81\;kJ}
\tag{9}$$
Item (g):
Agora, nos próximos itens, devemos calcular as mesmas grandezas dos itens anteriores, mas dessa vez para a trajetória $3\longrightarrow1$. Nesse item devemos calcular o calor adicionado nesse processo. Como agora a pressão é constante, temos que usar a expressão para $c_P$, dado por:
$$
c_P = \frac{5}{2}R
\tag{10}$$
E portanto, o calor é:
$$
\boxed{Q = n c_P\Delta T = \frac{5}{2}nR\Delta T = \frac{5}{2}(1\;mol)(8,31\;J/molK)(300\;K-455\;K) = -3,22\;kJ}
\tag{11}$$
Item (h):
Agora, devemos calcular a variação de energia interna $\Delta E_{int}$ para a trajetória $3\longrightarrow1$. A variação de energia está relacionada com $c_V$, dado por:
$$
\Delta E_{int} = nc_V\Delta T = \frac{3}{2}nR\Delta T
\tag{12}$$
No qual usamos o resultado da Equação (2). Substituindo os valores numéricos, ficamos com:
$$
\boxed{\Delta E_{int} = \frac{3}{2}(1\;mol)(8,32\;J/molK)(300\;K-455\;K) = -1,93\;kJ}
\tag{13}$$
Item (i):
Vamos agora calcular o trabalho para esse mesmo trajeto. Pela primeira lei da Termodinâmica e usando as Equações (11) e (13), temos que:
$$
\boxed{W = Q-\Delta E_{int} = -3,22\;kJ + 1,93\;kJ = -1,29\;kJ}
\tag{14}$$
Item (j):
O exercício nos pede o calor $Q$ para o ciclo completo. Para isso, basta somarmos os termos de calor de cada um dos processos, já calculados anteriormente, dados nas Equações (4), (7) e (11):
$$
\boxed{Q = 3,74\;kJ + 0 – 3,22\;kJ = 0,52\;kJ = 520\;J}
\tag{15}$$
Item (k):
A variação de energia interna de todo o ciclo também é calculada através da soma da energia em cada processo, dados pelas Equações (5), (8) e (13):
$$
\boxed{\Delta E_{int} = 3,74\;kJ – 1,81\;kJ – 1,93\;kJ = 0}
\tag{16}$$
Ou seja, no ciclo completo não há variação de energia interna.
Item (l):
O trabalho no ciclo completo também será a soma dos trabalhos de cada processo, dado pelas Equações (6), (9) e (14):
$$
\boxed{W = 0 + 1,81\;kJ – 1,29\;kJ = 520\;J}
\tag{17}$$
Ou seja, $\Delta E_{int}=0$ e $W=Q$, o que faz sentido pela primeira lei da termodinâmica.
Item (m):
Agora, o exercício nos diz que a pressão inicial no ponto 1 é $p_1=1\;atm=1,013\times10^5\;Pa$ e nos pede para calcular o volume no ponto 2. O processo de 1 para 2 é um processo a volume constante, ou seja, $V_2=V_1$. Usando a lei dos gases ideais para $V_1$, temos que:
$$
\boxed{V_2=V_1=\frac{nRT_1}{p_1} = \frac{(1\;mol)(8,31\;J/molK)(300\;K)}{1,013\times10^5\;Pa} = 0,0246\;m^3}
\tag{18}$$
Lembrando que $J*Pa=m^3$.
Item (n):
Devemos calcular a pressão no ponto 2 ($p_2$). Novamente, de acordo com a lei dos gases ideais e usando o resultado do item anterior, temos:
$$
\boxed{p_2 = \frac{nRT_2}{V_2} = \frac{(1\;mol)(8,31\;J/molK)(600\;K)}{2,46\times10^{-2}\;m^3} = 2,02\times10^5\;Pa \approx 2\;atm}
\tag{19}$$
Item (o):
Nesse item, devemos calcular o volume no ponto 3 ($V_3$). Novamente de acordo com a lei dos gases ideais e vendo pelo gráfico que $p_3=p_1$, temos:
$$
\boxed{V_3 = \frac{nRT_3}{p_3} = \frac{nRT_3}{p_1} = \frac{(1\;mol)(8,31\;J/molK)(455\;K)}{1,013\times10^5\;Pa} = 0,0373\;m^3}
\tag{20}$$
Item (p):
Finalmente, vamos calcular a pressão no ponto 3 ($p_3$). Como podemos ver no gráfico da Figura 19-27 e que já usamos no item anterior:
$$
\boxed{p_3 = p_1 = 1,013\times10^5\;Pa \approx 1\;atm}
\tag{21}$$
