Exercício 62, Capítulo 19, Fundamentos de Física Vol. 2: diatômico

Halliday & Resnick

Fundamentos de Física – 10^a Edição

Capítulo 19: A Teoria Cinética dos Gases

Exercício 62:

Enunciado:

Um gás ideal diatômico, com rotação, mas sem oscilações, sofre uma compressão adiabática. A pressão e o volume iniciais são 1,20 atm e $0,200 \; m^3$. A pressão final é 2,40 atm… para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.

Dados relevantes fornecidos no enunciado:

Item Único:

O exercício nos pergunta qual é o trabalho realizado pelo gás. Sabemos que um trabalho realizado dado uma variação de volume é dado por:

$$
W = \int dW = \int_{V_i}^{V_f} p dV
\tag{1}$$

O exercício nos diz que a compressão é adiabática, sendo assim, temos uma relação constante entre a pressão e o volume:

$$
pV^\gamma = constante
\tag{2}$$

Ou seja, podemos igualar essa expressão para o estado inicial e final, resultando:

$$
p_iV_i^\gamma = p_fV^\gamma
\tag{3}$$

Perceba que $V$ é o volume final mas nós não sabemos seu valor ainda. Os outros 3 valores nos foi dado pelo exercício. Podemos então isolar $p_f$ e substituir essa pressão na Equação (1):

$$
W = \int_{V_i}^{V_f} \frac{p_iV_i^\gamma}{V^\gamma}dV = p_iV_i^\gamma \int_{V_i}^{V_f}V^{-\gamma} dV = \frac{V^{1-\gamma}}{1-\gamma}\Big|_{V_i}^{V_f}
\tag{4}$$

O que resulta em:

$$
W = p_iV_i^{\gamma}\left(\frac{V_f^{1-\gamma}-V_i^{1-\gamma}}{1-\gamma}\right)
\tag{5}$$

Como não temos o valor de $V_f$, temos que substituí-lo por fatores conhecidos. Para isso, vamos usar a relação dada pela Equação (3). Primeiramente vamos escrever que:

$$
V_f^{1-\gamma}=V_fV_f^{-\gamma}
\tag{6}$$

Da Equação (3), podemos isolar $V_f^{\gamma}$:

$$
V_f^{\gamma} = \frac{p_i}{p_f}V_i^{\gamma}
\tag{7}$$

Se invertermos todos os termos da equação acima, chegamos numa expressão para $V_f^{-\gamma}$:

$$
V_f^{-\gamma} = \frac{p_f}{p_i}V_i^{-\gamma}
\tag{8}$$

Agora, precisamos de uma expressão para $V_f$ de modo que reescrevermos por completo a Equação (6). Para isso, vamos elevar todos os termos da Equação (7) a $1/\gamma$:

$$
V_f = \left(\frac{p_i}{p_f}\right)^{1/\gamma}V_i
\tag{9}$$

Substituindo as Equações (8) e (9) na Equação (6),temos:

$$
V_f^{1-\gamma}=\left(\frac{p_i}{p_f}\right)^{1/\gamma}V_i\left(\frac{p_f}{p_i}\right)V_i^{-\gamma}
\tag{10}$$

Rearranjando os termos temos:

$$
V_f^{1-\gamma} = \left(\frac{p_f}{p_i}\right)^{1-1/\gamma} V_i^{1-\gamma}
\tag{11}$$

Finalmente, voltamos com esse resultado para a Equação (5) que dá o trabalho:

$$
W = p_iV_i^\gamma \left(\frac{\left(\frac{p_f}{p_i}\right)^{1-1/\gamma} V_i^{1-\gamma}-V_i^{1-\gamma}}{1-\gamma}\right)
\tag{12}$$

Que simplificando, fica:

$$
W = p_iV_i\left(\frac{(p_f/p_i)^{1-1/\gamma}-1}{1-\gamma}\right)
\tag{13}$$

Para um gás diatômico temos que $C_V=5/2$ e $C_p=7/2$ o que resulta em:

$$
\gamma = \frac{C_p}{C_V} = \frac{7/2}{5/2} = 7/5
\tag{14}$$
Também temos que $p_f/p_i=2$ e $V_i=0,2\;m^3$ e $p_i=1,2\;atm = 121590\;Pa$. Substituindo esses valores numéricos, temos:

$$
W = (121590\;Pa)(0,2\;m^3)\left(\frac{2^{(1-1/(7/5))}-1}{1-7/5}\right)
\tag{15}$$

Usando que $Pa\times m^3=J$, temos o resultado final:

$$
\boxed{W = (24318\;J)\left(\frac{0,22}{-0,4}\right)=-1,33\times10^4\;J}
\tag{16}$$