Halliday & Resnick
Fundamentos de Física – 10a Edição
Capítulo 20: Entropia e a Segunda Lei da Termodinâmica
Exercício 19:
Enunciado:
Suponha que 1,00 mol de um gás monoatômico ideal inicialmente à pressão $p_1$ e ocupando um volume $V_1$ seja submetido sucessivamente a dois processos: (1) uma expansão isotérmica até um volume $2,00\;V_1$ e (2) um aumento de pressão a volume constante até uma pressão $2,00\;p_1$. Qual é o valor de $Q/p_1V_1$ (a) para o processo 1 e (b) para o processo 2? Qual é o valor de $W/p_1V_1$ (c) para o processo 1 e (d) para o processo 2? Para o processo completo, qual é o valor… para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.
Dados relevantes fornecidos no enunciado:
Item (a):
Nesse primeiro item, o exercício nos pergunta o valor de $Q/p_1V_1$ para o processo (1). Esse processo é isotérmico, ou seja, não há variação de temperatura. Se não há variação de temperatura, não há variação de energia interna ($\Delta E=0$). Então, a primeira lei da termodinâmica nos dá:
$$
Q = \Delta E + W = 0 + W = W
\tag{1}$$
O cálculo do trabalho é dado por:
$$
W = \int pdV = \int_{V_1}^{2V_1} \frac{nRT_1dV}{V} = nRT_1\ln \frac{2V_1}{V_1} = nRT_1 \ln 2 = p_1V_1\ln2
\tag{2}$$
O termo $T_1$ é a temperatura em que esse processo ocorre e que se mantém constante. Como não temos esse valor, usamos o fato de que $p_1v_1 = nRT_1$ na última igualdade.
Substituindo esse termo para o trabalho na Equação (1), temos:
$$
Q = p_1V_1 \ln 2
\tag{3}$$
Apenas rearranjando, temos o resultado desse item:
$$
\boxed{\frac{Q}{p_1V_1} = \ln 2 = 0,693}
\tag{4}$$
Item (b):
Agora, devemos calcular o mesmo termo do item (a) mas dessa vez para o processo (2). Aqui temos que tomar cuidado. Perceba que para termos um processo isotérmico que aumente o volume do gás, sua pressão tem que diminuir (olhe um processo isotérmico no gráfico PxV). Se o volume dobrou no processo (1) isotérmico, a pressão caiu pela metade. No processo (2), o exercício diz que após o processo (1), ou seja, a pressão está a $p_1/2$, nós temos um processo a volume constante que faz a pressão passar a ser $2p_1$. Portanto, a pressão teve que aumentar em 4x para conseguir atingir tal valor uma vez que ela tinha caído pela metade do seu valor inicial devido ao processo isotérmico. De acordo com a lei dos gases ideais, se a pressão sobe de 4x, a temperatura sobe linearmente com relação a pressão, ou seja, também sobe 4x. Desse modo, podemos dizer que:
$$
T_2 = 4T_1 \longrightarrow \frac{T_2}{T_1}=4
\tag{5}$$
Onde aqui 1 e 2 são o início e o final do segundo processo, respectivamente. Agora podemos usar a relação do calor:
$$
Q=nc_V\Delta T = n\left(\frac{3}{2}R\right)(T_2-T_1) = \frac{3}{2}nRT_1\left(\frac{T_2}{T_1}-1\right)
\tag{6}$$
Usando a Equação (5) e fazendo $nRT_1=p_1V_1$:
$$
Q=\frac{3}{2}p_1V_1(4-1) = \frac{9}{2}p_1V_1
\tag{7}$$
O que nos dá:
$$
\boxed{\frac{Q}{p_1V_1} = \frac{9}{2} = 4,5}
\tag{8}$$
Item (c):
Agora, o exercício nos pergunta o valor da expressão $W/p_1V_1$ para o processo (1). O trabalho na expansão isotérmica já foi calculado na Equação (2):
$$
W = p_1V_1 \ln 2
\tag{9}$$
Isolando a expressão que o exercício pede:
$$
\boxed{\frac{W}{p_1V_1} = \ln 2 = 0,693}
\tag{10}$$
Item (d):
Nesse item, devemos calcular a mesma expressão do item anterior mas dessa vez para o processo (2). Como esse processo é a volume constante, temos um processo vertical no qual a área sobre a curva no gráfico $p\times V$ é zero. Portanto:
$$
\boxed{\frac{W}{p_1V_1} = 0}
\tag{11}$$
Item (e):
Agora, vamos calcular a expressão $\Delta E_{int}/p_1V_1$ para o processo todo. Para isso, podemos utilizar a primeira lei da Termodinâmica e usar as Equações (2), (3), (7) e (11) que são os resultados para o calor e o trabalho nos dois processos:
$$
\Delta E_{int} = Q-W = \left(p_1V_1\ln 2+\frac{9}{2}p_1V_1\right)-(p_1V_1\ln2+0) = \frac{9}{2}p_1V_1
\tag{12}$$
O que nos resulta:
$$
\boxed{\frac{\Delta E_{int}}{p_1V_1} = \frac{9}{2}}
\tag{13}$$
Item (f):
Nesse item, devemos calcular a variação da entropia $\Delta S$ do processo todo. Para isso, vamos utilizar a Equação 20-4 do livro, que diz:
$$
\Delta S = R\ln\frac{V_f}{V_i} + nc_V\ln \frac{T_f}{T_i}
\tag{14}$$
Para o nosso caso, $V_f=2V_i$, $T_f=4T_1$ e $c_V=(3/2)R$ como já foi comentado. Com isso, temos:
$$
\Delta S = R\ln2+\frac{3}{2} R\ln2^2 = R\ln2+3R\ln2= 4R\ln2
\tag{15}$$
Com isso,
$$
\boxed{\Delta S = 4(8,31\;J/K)\ln2 = 23\;J/K}
\tag{16}$$
Item (g):
Agora, o exercício nos diz que o gás retorna ao estado inicial e é levado ao estado final anterior mas dessa vez por dois novos processos. Primeiro uma compressão isotérmica em que a pressão dobra seguida de uma expansão a pressão constante no qual o volume dobra. Nesse item, o exercício nos pede o valor de $Q/p_1V_1$ para o primeiro processo. Se no primeiro processo a pressão dobra, pela lei dos gases ideais, o volume deve cair pela metade. Então $V_i = 2V_f$ para esse processo. Como a compressão é isotérmica, não há variação de energia interna e o calor trocado é igual ao trabalho de modo que:
$$
Q = W = \int pdV = \int_{V_i}^{V_i/2} \frac{nRT_1}{V}dV = p_1V_1\int_{V_i}^{V_i/2} \frac{1}{V}dV = p_1V_1\ln(1/2) = -p_1V_1\ln2
\tag{17}$$
Assim, temos que:
$$
\boxed{\frac{Q}{p_1V_1} = -\ln2=-0,693}
\tag{18}$$
Item (h):
Devemos agora calcular a mesma expressão do item anterior para o processo (2) que consiste em uma expansão a pressão constante no qual o volume dobra de seu volume inicial $V_i$. Lembre-se que o processo 2 começa a um volume de $V_i/2$ devido ao processo 1. Isso quer dizer que a expansão no processo 2 foi de 4 vezes $V_i$. De acordo com a lei dos gases ideias $pV=nRT$, se quadruplicarmos o volume e mantermos a pressão constante, sua temperatura deve subir 4 vezes, portanto $T_2/T_1=4$ no qual 1 e 2 são os pontos inicial e final do processo 2. O calor num processo a pressão constante é dado por:
$$
Q = c_p \Delta T = \frac{5}{2}R(T_2-T_1) = \frac{5}{2}RT_1\left(\frac{T_2}{T_1}-1\right) = \frac{5}{2}p_1V_1(4-1) = \frac{15}{2}p_1V_1
\tag{19}$$
Onde usamos que $p_1V_1=nRT_1$ e que no caso desse exercício $n=1\;mol$. Com isso, temos que:
$$
\boxed{\frac{Q}{p_1V_1} = \frac{15}{2} = 7,5}
\tag{20}$$
Item (i):
Agora, devemos calcular a expressão $W/p_1V_1$ para o processo 1. Como esse processo é isotérmico e com isso não há variação de energia interna, pela primeira lei da Termodinâmica, temos que $W=Q$ e portanto podemos utilizar o resultado do item (g):
$$
\boxed{\frac{W}{p_1V_1} = \frac{Q}{p_1V_1} = -\ln2=-0,693}
\tag{21}$$
Item (j):
Vamos calcular a mesma expressão do item anterior para o processo 2. Nesse processo, temos uma linha horizontal no gráfico $p\times V$, o que quer dizer que o trabalho será dado pela área abaixo da curva que pode ser expressa por:
$$
W = p\Delta V
\tag{22}$$
Lembre-se que no processo 1 a pressão dobrou em relação a pressão inicial e nesse processo 2 a pressão se mantém constante, então temos que $p=2p_1$. Já o volume é de $V_1/2$ no final do processo 1 e consequentemente no começo do processo 2 e no fim do processo 2 o exercício diz que o volume é de $2V_i$, portanto a equação anterior fica:
$$
W = 2p_1(2V_1 – 0,5V_1) = 3p_1V_1
\tag{23}$$
E portanto:
$$
\boxed{\frac{W}{p_1V_1}=3}
\tag{24}$$
Item (k):
Nesse item, o exercício nos pede o valor de $\Delta E_{int}/p_1V_1$. De acordo com a primeira Lei da Termodinâmica:
$$
\Delta E_{int} = Q_{total}-W_{total} = \left(\frac{15}{2}p_1V_1-p_1V_1\ln2\right) – (3p_1V_1-p_1V_1\ln2) = \frac{9}{2}p_1V_1
\tag{25}$$
No qual usamos aqui os resultados dos itens anteriores em que calculamos o calor e trabalho nos dois processos. Mais especificamente, usamos as Equações (18), (20), (21) e (24). Com isso, resultamos em:
$$
\boxed{\frac{\Delta E_{int}}{p_1V_1} = \frac{9}{2} = 4,5}
\tag{26}$$
Perceba que esse valor é o mesmo encontrado no item (e), onde eram usados outros dois processos mas que vão dos mesmos estados iniciais e finais que os processos a partir do item (g). Isso está de acordo com o princípio termodinâmico de que a variação de energia interna de um sistema termodinâmico independe do caminho, apenas de seu estado final e inicial.
Item (l):
Agora, o exercício pede a variação de entropia $\Delta S$ para o processo completo. Vamos calcular esse valor da mesma forma do item (f):
$$
\Delta S = R\ln\frac{V_f}{V_i} + nc_V\ln \frac{T_f}{T_i}
\tag{27}$$
Para esses novos dois processos, a volume final é o dobro do inicial: $V_f=2V_i$ e como discutido no item (h) $T_f=4T_1$ e $c_V=(3/2)R$ (Tabela 19-3 do livro). Com isso, temos:
$$
\Delta S = R\ln2+\frac{3}{2} R\ln2^2 = R\ln2+3R\ln2= 4R\ln2
\tag{28}$$
Com isso,
$$
\boxed{\Delta S = 4(8,31\;J/K)\ln2 = 23\;J/K}
\tag{29}$$
Novamente, a variação de entropia é igual ao calculado no item (f) pelos mesmos motivos da variação de energia interna.
