Halliday & Resnick
Fundamentos de Física – 10ª Edição
Volume 1
Capítulo 2: Movimento retilíneo
Exercício 62
Enunciado:
Ao pegar um rebote, um jogador de basquete pula 76,0 cm verticalmente. Qual é o tempo total (de subida e descida) que o jogador passa (a) nos 15 cm mais… Para ter acesso ao enunciado, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.
Solução:
Dados relevantes fornecidos no enunciado:
- Jogador pula $76cm$ verticalmente.
Itens (a) e (b) :
Nos é pedido o tempo total, contando subida e descida, quem o jogador passa nos 15 cm mais altos. Para isso, a primeira coisa que devemos calcular é a velocidade com que ele sai do chão ao realizar o salto. Faremos isso utilizando a equação de Toricelli, assumindo que a aceleração será a da gravidade dada por $a=g=-10\;m/s^{2}$. Quando ele atinge a altura máxima (76 cm), sua velocidade (nesse caso, a final, $v$) é zero, portanto:
$$
v^{2}=v_{0}^{2}+2a \Delta s \tag{1}
$$
$$
0=v_{0}^{2}+2\cdot (-10) \cdot 0,76 \tag{2}
$$
$$
v_{0}=3,9\;m/s \tag{3}
$$
Uma vez que temos tanto a aceleração quanto a velocidade inicial do salto e estamos querendo calcular o tempo dependendo da altura ($h$) em que ele se encontra no salto, podemos usar a equação horária da posição, dada por:
$$
h=h_{0}+v_{0}t+at^{2}/2 \tag{4}
$$
Podemos considerar a altura inicial como sendo no solo ($h_{0}=0\;m$), já que estamos lidando com um salto, e a altura final como sendo a altura em que queremos calcular o tempo que ele passa abaixo e acima dela ($h=0,15\;cm$). Desse modo, a equação fica:
$$
0,15=0+3,9t-(10/2)t^{2} \tag{6}
$$
Rearranjando:
$$
5t^{2}-3,9t+0,15=0 \tag{7}
$$
Perceba que chegamos em uma equação do segundo grau. Encontramos o tempo $t$ calculando suas raízes:
$$
t=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \tag{8}
$$
$$
t=\frac{-3,9 \pm \sqrt{3,9^{2}-4\cdot 5 \cdot 0,15}}{2\cdot 5} \tag{9}
$$
Isso nos leva a duas raízes reais e positivas. São elas:
$$
\boxed{t=0,74\;s} \tag{10}
$$
$$
\boxed{t=0,04\;s} \tag{11}
$$
Perceba que nós já encontramos a solução do problema todo. As duas soluções para a equação (6) são justamente os tempos nos 15 cm e acima ($t=0,74\;s$) e nos 15 cm e abaixo ($t=0,04\;s$). Nessa equação já está toda a cinética específica desse salto. Se colocássemos outro valor de $h$, as raízes seriam os tempos do mesmo problema relacionado a essa nova altura. E é devido a essa “cinética quadrática” no tempo que os jogadores parecem estar voando, uma vez que os primeiros e últimos 15 cm do salto contam com apenas 5% do tempo total.
