Halliday & Resnick
Fundamentos de Física – 10ª Edição
Volume 1
Capítulo 2: Movimento retilíneo
Exercício 61
Enunciado:
Uma bola de aço é deixada cair do telhado de um edifício e leva 0,125 s para passar por uma janela, uma distância correspondente a 1,20 m. A bola quica na calçada e torna a passar pela janela… Para ter acesso ao enunciado, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.
Solução:
Dados relevantes fornecidos no enunciado:
- Bola de aço é deixada cair de um telhado e leva $t=0,125\;s$ para passar por uma janela;
- A janela tem $l=1,2\;m$;
- A bola quica na calçada e volta a passar pela janela de baixo pra cima levando novamente um tempo $t=0,125\;s$;
- Suponha que o movimento para cima corresponde exatamente ao inverso da queda.
- O tempo que a bola está abaixo do peitoril da janela é um total de $t=2\;s$.
Item único:
O exercício nos pergunta a altura do prédio, que vamos denotar por $H$. Vamos supor também que o sentido positivo de $y$ é para baixo e a origem do eixo de coordenadas está no alto do edifício. Durante a queda, a bola passa pelo alto da janela ($y_1$) com velocidade $v_1$ no tempo $t_1$. A Figura 1 a seguir nos ajuda a entender a situação:
Figura 1: Exemplificação do problema
Quando ela passa pelo peitoril da janela, a bola se encontra na posição $y_2$ e tempo $t_2$. Pelo enunciado do exercício, sabemos que $y_2-y_1=1,2\;m$ é a altura da janela e $t_2-t_1=0,125\;s$ é o tempo que ela demora para passar pela janela. Portanto, através da equação horária da posição:
$$
y_2 – y_1 = v_1(t_2-t_1)+\frac{g}{2}(t_2-t_1)^2 \tag{1}
$$
O que nos dá uma velocidade $v_1$ de:
$$
v_1 = \frac{1,2\;m-(1/2)(9,8\;m/s^2)(0,125\;s)^2}{0,125\;s} = 9\;m/s \tag{2}
$$
Sabendo essa velocidade, podemos calcular o valor de $y_1$ através da Equação de Torricelli no entre o momento que a bola é deixada cair ($v_0=0$) e $y_1$:
$$v_1^2 = v_0^2 + 2g(y_1-0) \Longrightarrow v_1^2=2gy_1 \Longrightarrow y_1 = \frac{(9\;m/s)^2}{2(9,8\;m/s^2)} = 4,13\;m \tag{3}
$$
Depois de passar pelo peitoril, o enunciado diz que a bola chega ao chão, quica e volta ao peitoril da janela em $2\;s$. Como o exercício diz que esse movimento é simétrico, podemos dizer que o tempo que leva para bola ir do peitoril ($t_2$) ao chão ($t_3$) é metade desse valor, ou seja, $t_3-t_2=1\;s$. Isso significa que do alto da janela ao chão teremos $t_1-t_3=1\;s+0,125\;s=1,125\;s$ (veja Figura 1). Assim, podemos aplicar novamente a equação horária da posição mas dessa vez entre os tempos $t_3$ e $t_1$ que correspondem as alturas $y_3=H$ e $y_1$, o que nos dá:
$$
y_3 – y_1 = v_1(t_3-t_1) + \frac{g}{2}(t_3-t_1)^2 \tag{4}
$$
$$
H – 4,12\;m = (9\;m/s)(1,125\;s)+\frac{9,8\;m/s^2}{2}(1,125\;s)^2 \tag{5}
$$
No qual usamos o resultado de $y_1$ dado pela Equação (3). Calculando $H$, temos a altura do prédio:
$$
\boxed{H=20,4\;m} \tag{6}
$$
