Halliday & Resnick
Fundamentos de Física – 10a Edição
Capítulo 19: A Teoria Cinética dos Gases
Exercício 17:
Enunciado:
O recipiente A da Fig. 19-22, que contém um gás ideal à pressão de $5,0 \times 10^5$ Pa e à temperatura de 300 K, está ligado por um tubo fino (e uma válvula fechada) a um recipiente B cujo volume é quatro vezes maior que o de A. O recipiente B contém o mesmo gás ideal à pressão de $1,0 \times 10^5$ Pa e à temperatura de 400 K. A válvula é aberta… para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.
Dados relevantes fornecidos no enunciado:
Item Único:
O exerício nos diz que a válvula é aberta para que as pressões se igualem, mas a temperatura de cada recipiente é mantida. Assim, devemos calcular a nova pressão $P$ nos dois recipientes. A Figura 19-22 do livro ilustra o problema. Tanto antes quanto depois da válvula ser aberta, o número de mols total do gás será o mesmo, portanto, podemos partir disso para encontrar relações entre pressões antes e depois. Quando a válvula está fechada, o número de mols no recipiente A será:
$$
n_A = \frac{p_AV_A}{RT_A}
\tag{1}$$
Da mesma forma será com o número de mols do recipiente B, ou seja, $n_B=p_BV_B/RT_B$. O número de mols total portanto será:
$$
n = n_A+n_B = \frac{V_A}{R}\left( \frac{p_A}{T_A}+\frac{4p_B}{T_B} \right)
\tag{2}$$
No qual já usamos o fato de que $V_B=4V_A$. Depois que a válvula é aberta, a pressão no recipiente A será:
$$
p_A’ = \frac{Rn_A’T_A}{V_A}
\tag{3}$$
Do mesmo modo, no recipiente B a pressão será $p_B’ = Rn_B’T_B/4V_A$. Perceba que chamamos o novo número de mols de cada recipiente como uma nova variável uma vez que os moléculas irão trocar de recipiente de modo a igualar suas pressões. Ou seja, agora podemos fazer que:
$$
p_A’ = p_B’ \Longrightarrow \frac{Rn_A’T_A}{V_A} = \frac{Rn_B’T_B}{4V_A} \Longrightarrow n_B’ = \frac{4T_A}{T_B}n_A’
\tag{4}$$
Com isso, podemos escrever novamente a soma do número de mols de ambos os recipientes agora para depois que válvula foi aberta.
$$
n = n_A’+n_B’ = n_A’\left(1+\frac{4T_A}{T_B}\right)
\tag{5}$$
No qual usamos o resultado da última igualdade da Equação (4). Agora podemos igualar os dois números de mols (antes e depois da abertura da válvula) usando a Equação (2) e já isolando $n_A’$:
$$
n_A’\left(1+\frac{4T_A}{T_B}\right) = \frac{V_A}{R}\left( \frac{p_A}{T_A}+\frac{4p_B}{T_B} \right) \Longrightarrow n_A’ = \frac{\frac{V_A}{R}\left( \frac{p_A}{T_A}+\frac{4p_B}{T_B} \right)}{\left(1+\frac{4T_A}{T_B}\right)}
\tag{6}$$
Perceba que o exercício nos pede exatamente o valor da pressão no sistema depois da válvula aberta, mas como $p_A’ = p_B’=P$, podemos escrever que:
$$
P = p_A’ = \frac{n_A’RT_A}{V_A}
\tag{7}$$
Portanto, basta substituirmos a expressão para $n_A’$ na equação acima e teremos o valor de $P$ apenas em termos de grandezas conhecidas:
$$
P = \frac{n_A’RT_A}{V_A} = \frac{p_A+4p_B(T_A/T_B)}{1+4(T_A/T_B)}
\tag{8}$$
Substituindo os valores:
$$
\boxed{P = \frac{5\times10^5\;Pa+4(1\times10^5\;Pa)(300\;K/400\;K)}{1+4(300\;K/400\;K)} = 2\times10^5\;Pa}
\tag{9}$$
