Halliday & Resnick
Fundamentos de Física – 10ª Edição
Volume 1
Capítulo 2: Movimento retilíneo
Exercício 43
Enunciado:
Quando um trem de passageiros de alta velocidade que se move a $161\;km/h$ faz uma curva, o maquinista leva um susto ao ver que uma locomotiva entrou indevidamente nos trilhos através de um desvio e está a uma… Para ter acesso ao enunciado, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.
Solução:
Dados relevantes fornecidos no enunciado:
- Trem se move a uma velocidade de $v_{t}=161\;km/h$;
- Locomotiva a distância $D=676\;m$ a frente do trem a velocidade $v_{l}=29\;km/h$;
- O maquinista aciona o freio a uma distância D da locomotiva para frear o trem a uma desaceleração constante.
Item (a):
Vamos calcular o módulo da mínima desaceleração do trem para não colidir com a locomotiva. Podemos começar calculando a velocidade média entre o trem e a locomotiva:
$$
v_{m} = \frac{v_{t}+v_{l}}{2} = \frac{\Delta x}{t} = \frac{D+v_{l}t}{t} = \frac{D}{t}+v_{l}
$$
No qual $\Delta x$ será a distância inicial entre o trem e a locomotiva mais a distância que a locomotiva percorre até o trem alcançá-la. Perceba que como nos é perguntado a desaceleração mínima então podemos supor que o trem irá frear até quase chegar na mesma posição que a locomotiva, ou seja, o trem irá alcançá-la mas não haverá colisão.
Para eliminar o tempo da equação acima, podemos escrever a aceleração constante como:
$$
a = \frac{\Delta v}{t} = \frac{v_{l}-v_{t}}{t}
$$
$$
t = \frac{v_{l}-v_{t}}{a}
$$
Então a equação (1) fica:
$$
\frac{v_{t}+v_{l}}{2} = \frac{D}{(v_{l}-v_{t})/a} + v_{l}
$$
Isolando a aceleração, temos:
$$
a = -\frac{1}{2D}(v_{l}-v_{t})^2
$$
Substituindo os valores:
$$
a = -\frac{1}{2(0,676\;km)}(29\;km/h – 161\;km/h)^2 = -12888\;km/h^2
$$
Passando para $m/s^2$:
$$
a = (-12888\;km/h^2)\frac{1000\;m}{1\;km}\left(\frac{1\;h}{3600\;s}\right)^2 = -0,994\;m/s^2
$$
Então, o módulo da desaceleração será de:
$$
\boxed{|a| = 0,994\;m/s^2}
$$
Item (b):
Devemos fazer dois gráficos da posição em função do tempo do trem e da locomotiva: um evitando por pouco e um colidindo por pouco. Perceba que no item acima nós assumimos que o trem assume a velocidade da locomotiva no instante em que a posição dos dois é igual. Ou seja, é um caso particular que está entre os dois casos propostos pelo item b. Então, uma desaceleração levemente menor iria causar o acidente e levemente maior iria evitar.
Para fazer o gráfico $x(t)$, devemos conhecer as equações de movimento do trem e da locomotiva. A locomotiva tem velocidade constante:
$$
x_{l} = D + v_{l}t = 676\;m + (8,05\;m/s)\cdot t
$$
Onde consideramos x = 0 na posição do trem em que a locomotiva está a uma distância D do mesmo. O trem está em movimento com desaceleração constante:
$$
x_{t} = v_{t}t -\frac{at^2}{2} = (44,7\;m/s)\cdot t – \frac{(0,994\;m/s^2) \cdot t^{2}}{2}
$$
O gráfico fica então:
Figura 1: Gráfico que descreve o movimento do trem e da locomotiva.
Perceba que o movimento da locomotiva é linear. Uma desaceleração maior mudaria apenas a inclinação da curva laranja de modo a passar mais longe da reta azul, evitando cada vez mais o acidente. Uma desaceleração menor levaria uma menor inclinação da curva laranja o que faria ela cruzar a reta azul. Isso indicaria a colisão entre o trem e a locomotiva.
