Halliday & Resnick
Fundamentos de Física – 10a Edição
Volume 1
Capítulo 4: Movimento em Duas e Três Dimensões
Exercício 6
Enunciado:
A posição de um elétron é dada por $\vec{r}=3t\hat{i}-4t^{2}\hat{j}+2\hat{k}$ com t em segundos e $\vec{r}$ em metros. (a) Qual é a velocidade $\vec{v}(t)$ do elétron na notação dos vetores unitários? Quanto vale $\vec{v}(t)$ no instante t = 2,00 s … para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.
Dados relevantes fornecidos no enunciado:
- Posição do elétron $\vec{r}=3t\hat{i}-4t^{2}\hat{j}+2\hat{k}$.
Item (a):
Nesse item, nos é pedido o vetor velocidade $\vec{v}(t)$. Sabemos que a relação entre a posição e a velocidade de uma partícula é dada por:
$$
\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt}
\tag{1}$$
Portanto, basta derivar o termo de cada componente em relação ao tempo:
$$
\vec{v} = \frac{d}{dt} (3t\hat{i}-4t^{2}\hat{j}+2\hat{k}) = \frac{d}{dt}(3t\hat{i}) + \frac{d}{dt} (-4t^{2}\hat{j}) + \frac{d}{dt}(2\hat{k})
\tag{2}$$
Derivando em relação a $t$:
$$
\boxed{\vec{v} = 3\hat{i}-8t\hat{j}+0\hat{k} = 3\hat{i}-8t\hat{j}}
\tag{3}$$
Item (b):
Na notação de vetores unitários, a velocidade em $t=2s$ é dado por (lembrando que a notação de vetores unitários se dá separando as componentes de cada direção por vírgula):
$$
\vec{v}(t=2\;s)=(3\hat{i},-8\cdot 2 \hat{j})
\tag{4}$$
$$
\vec{v}(t=2\;s)= (3\hat{i},-16 \hat{j})
\tag{5}$$
Item (c):
Nesse item, devemos calcular o módulo da velocidade em $t=2$, para isso, utilizamos a definição do módulo de um vetor:
$$
\vec{v}= \sqrt{3^{2}+(-16)^{2}}
\tag{6}$$
Note que como já sabemos que a componente na direção z é 0, a raiz só contém os termos em x e y.
$$
\boxed{\vec{v}=\sqrt{265} = 16.3\;m/s}
\tag{7}$$
Item (d):
Nos é pedido o ângulo em relação ao sentido positivo de x. Como podemos ver na Figura abaixo, podemos escrever a tangente do ângulo $\theta$ uma vez que os catetos são justamente as componentes de $\vec{v}$.
Figura 1: Vetor $\vec{v}$ decomposto e o ângulo $\theta$ que procuramos o valor.
$$
\tan{\theta} = \frac{C_{oposto}}{C_{adj}} = \frac{-16}{3} = -5.3
\tag{8}$$
Para encontrarmos o ângulo, basta calcularmos a arc tangente de $\theta$:
$$
\boxed{\theta = \arctan{(-5.3)} = -79.4^{o}}
\tag{9}$$
Faz sentido o ângulo ser negativo uma vez que estamos medindo um ângulo que parte do x positivo em direção ao y negativo, ou seja, o contrário do que normalmente se vê que é o ângulo positivo saindo do x positivo em direção ao y positivo.
