Exercício 10, Capítulo 4, Fundamentos de Física Vol. 1: posição

Halliday & Resnick

Fundamentos de Física – 10^a Edição

Volume 1

Capítulo 4: Movimento em Duas e Três Dimensões

Exercício 10:

Enunciado:

O vetor $\vec{r}=(5t)\hat{i}+(et+ft^2)\hat{j}$ mostra a posição de uma partícula em função do tempo t. O vetor está em metros, t está em segundos e os fatores $e$ e $f$ são constantes. A Fig. 4-31 mostra o ângulo $\theta$ da direção do movimento da partícula… para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.

Dados relevantes fornecidos no enunciado:

Item (a):

Nesse item, devemos determinar o fator $e$ do vetor $\vec{r}$. Para isso, perceba que a direção do movimento é mudada de acordo com o gráfico da mudança de $\theta$ no tempo. Lembre que o responsável por fazer o vetor deslocamento $\vec{r}$ mudar de direção é a velocidade, e ela é dade por:

$$
\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{d}{dt} = 5\hat{i} + (e+2ft)\hat{j}
\tag{1}$$

Portanto, dado um vetor velocidade, o ângulo no qual se dá o movimento é:

$$
\theta = tan^{-1} (v_{y}/v_{x})
\tag{2}$$

Perceba que $v_{y}$ depende do tempo, portanto, a cada instante de tempo, o valor do ângulo será diferente, resultando no gráfico dado pelo exercício. Também, repare que:

$$
\vec{v}(t=0) = 5\hat{i}+e\hat{j}
\tag{3}$$

Ou seja, o fator f é eliminado e com isso podemos isolar o fator e. Mas ainda precisamos saber quanto vale o fator $\theta(t=0)$ e essa informação podemos tirar do gráfico dado:

$$
\theta(t=0) = 35^{o}
\tag{4}$$

Voltando pra equação (2), temos:

$$
\theta(t=0) = tan^{-1} (e/5) = 35^{o} \xrightarrow{} \boxed{e = 5\;tan(35^{o}) = 3,5\;m/s}
\tag{5}$$

Item (b):

Agora, devemos calcular o fator f. Pra isso vamos obter outro ponto no gráfico de $\theta(t)$. Perceba que quando $t=14\;s$, $\theta=0$. Então, segundo a equação (2):

$$
\theta(t=14\;s) = 0 = tan^{-1}(v_{y}/v_{x})
\tag{6}$$

Para a expressão acima ser 0, o termo $v_{y}(t=14\;s)$ deve ser zero, portanto, pela equação (1):

$$
v_{y}(t=14\;s) = 0 = e+2f(14)
\tag{7}$$

Que resulta:

$$
\boxed{f = \frac{-3,5\;m/s}{28\;s} = -0,125\;m/s^2}
\tag{8}$$

Veja que $e$ e $f$ tem dimensões diferentes, mas que quando analisada a dimensão do vetor $\vec{r}$, ela resulta em metros, como deve ser.