Moysés Nussenzveig
Curso de Física Básica – 4a Edição
Capítulo 1: Estática dos Fluidos
Exercício 5:
Enunciado:
Uma comporta vertical de forma retangular tem largura $l$; a altura da água represada é $h$. (a) Aplicando os resultados do Problema 1.4, calcule a força total $F$ exercida pela água sobre a comporta e localize… para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.
Dados relevantes fornecidos no enunciado:
Item (a):
Do exercício anterior, nós sabemos que a profundidade do centro das pressões é dada por:
$$
z_{0} = \frac{\int_A z^2 dA}{\bar{z}A}
\tag{1}$$
E sabemos também que a profundidade do centroide de A, $\bar{z}$, é dada por:
$$
\bar{z} = \frac{1}{A} \int_A z dA
\tag{2}$$
Sendo uma placa retangular de largura $l$, de área $A = hl$, o elemento de área é $dA = l dh$, onde $h$ é a altura. Dessa forma, podemos escrever (chamando a variável $z$ das equações acima de $h$ para ser consistente com o elemento de área):
$$
\bar{z} = \frac{1}{A} \int h l dh = \frac{1}{hl} \frac{lh^2}{2} = \frac{h}{2}
\tag{3}$$
Da mesma forma, podemos calcular a integral do numerador da equação 1:
$$
\int_A h^2 l dh = \frac{lh^3}{3}
\tag{4}$$
Substituindo as equações 3 e 4 na equação 1, temos:
$$
z_0 = \frac{lh^3/3}{h/2 A} = \frac{2lh^2}{3 h l} = \frac{2h}{3}
\tag{5}$$
Portanto o centro das pressões está em:
$$
\boxed{z_0 = \frac{2h}{3}}
\tag{6}$$
Note que essa expressão que obtemos é a profundidade do centro das pressões, ou seja, ela é medida a partir do topo da barragem. Se considerarmos a base da barragem como origem do nosso sistema de coordenadas, o centro das pressões está à um terço da altura da base, isto é, $z_0 = h/3$, como diz o livro.
O item ainda pede a expressão da força. Nós sabemos do exercício anterior que:
$$
F = \rho g \bar{z} A
\tag{7}$$
Usando o resultado obtido na equação 3, e sabendo que $A = hl$, podemos substituir essas expressões na equação acima e obter:
$$
F = \rho g \frac{h}{2} hl = \frac{\rho g h^2 l}{2}
\tag{8}$$
Portanto:
$$
\boxed{ F = \frac{\rho g h^2 l}{2}}
\tag{9}$$
Item (b):
Do exercício 4, sabemos que o torque resultante em relação ao eixo é o mesmo que se a força $F$ estivesse sendo aplicada no centro das pressões:
$$
\tau = z_0 F
\tag{10}$$
Perceba que o exercício pede o torque em relação à base, e como discutido no item anterior, a distância do centro das pressões da base é $z_0 = h/3$. Portanto podemos escrever:
$$
\tau = z_0 F = \frac{\rho g h^2 l}{2} \frac{h}{3}
\tag{11}$$
Sendo assim, a expressão para $h$ é:
$$
h = \left( \frac{6 \tau}{\rho g l}\right)^{\frac{1}{3}}
\tag{12}$$
Substituindo os valores, no sistema internacional de unidades, temos:
$$
h =\left( \frac{6 \cdot 150 \times 10^3}{1000 \cdot 9.81 \cdot 3} \right)^{1/3}
\tag{13}$$
O que nos dá:
$$
\boxed{h \approx 3.1 \; m}
\tag{14}$$
