Exercício 58, Capítulo 4, Fundamentos de Física Vol. 1: ventilador

Halliday & Resnick

Fundamentos de Física – 10^a Edição

Volume 1

Capítulo 4: Movimento em Duas e Três Dimensões

Exercício 58:

Enunciado:

Um ventilador realiza 1200 revoluções por minuto. Considere um ponto situado na extremidade de uma das pás, que descreve uma circunferência com 0,15 m de raio… para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.

Dados relevantes fornecidos no enunciado:

Item (a):

Nos é pedido a distância percorrida pela extremidade da pá em uma revolução. Como tal ponto descreve uma circunferência, basta calcular o comprimento de uma circunferência ($C$), ou seja, uma revolução, sendo:

$$
C = 2 \cdot \pi \cdot R
\tag{1}$$

No qual $R$ é o raio da circunferência. Portanto,

$$
\boxed{C = 2 \cdot \pi \cdot 0,15\;m = 0,94\;m}
\tag{2}$$

Item (b):

O enunciado nos pergunta a velocidade desse ponto na extremidade. Para isso, escrevemos a velocidade em termos de velocidade angular:

$$
v= \omega R
\tag{3}$$

Perceba que como $\omega$ tem unidade de $rad/s$, temos a análise dimensional correta nessa equação. Apenas para tentar esclarecer melhor a origem “física” dessa equação, podemos pensar nela como sendo uma “linearização” da velocidade angular. Veja que a velocidade angular, que descreve a taxa de revolução angular no tempo, é multiplicada pela raio, de modo agora temos uma taxa de variação da posição (e não mais do ângulo) em relação ao tempo.

Podemos também transformar $\omega$ em frequência $f$ com dimensões de $1\;/s$, uma vez que é a frequência de revolução que nos é dada pelo exercício.

$$
\omega=2\pi f
\tag{4}$$

Substituindo (4) em (3), temos:

$$
v= 2 \pi f R
\tag{5}$$

A frequência pode ser calculada dividindo o número de revoluções por segundo (já transformando minuto em segundos):

$$
f = \frac{1200}{60} = 20\;Hz
\tag{6}$$

Portanto, voltando a equação (5), temos:

$$
\boxed{v =2 \cdot \pi \cdot 20 \cdot 0,15 = 18,8\;m/s}
\tag{7}$$

Item (c):

Para calcular a aceleração ($a$), devemos utilizar a equação da aceleração centrípeta dada por:

$$
a = \omega^{2} R = \frac{v^{2}}{R}
\tag{8}$$

Como já calculamos a velocidade:

$$
\boxed{a = \frac{(18,8)^{2}}{0,15} = 2366\;m/s^{2}}
\tag{9}$$

Item (d):

O período (T) do movimento simplesmente é o inverso da frequência, ou seja:

$$
\boxed{T = \frac{1}{f} = \frac{1}{20} = 0,05\;s}
\tag{10}$$

Ou seja, o ventilador demora 0,05 segundos para dar uma volta completa.