Halliday & Resnick
Fundamentos de Física – 10a Edição
Volume 1
Capítulo 4: Movimento em Duas e Três Dimensões
Exercício 55:
Enunciado:
Uma bola rola horizontalmente do alto de uma escada a uma velocidade de 1,52 m/s. Os degraus
têm 20,3 cm de altura e 20,3 cm de largura.. para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.
Dados relevantes fornecidos no enunciado:
Item Único:
O exercício nos pede para determinar em que degrau a bola atinge a escadaria. Podemos ver um esquema do enunciado assim como o eixo de coordenadas escolhido na Figura abaixo. No eixo $x$, temos um movimento que parte da velocidade inicial $v_{x}=1,52m/s$. Portanto, a posição da bola em relação ao eixo $x$ é dada por:
Esquema do que pede o enunciado.
$$
x=v_{x}t
\tag{1}$$
Já para o eixo $y$, temos um movimento uniformemente variado devido a presença da gravidade e com posição e velocidade inicial zero nesse sistema de coordenadas escolhido. Portanto, a equação fica:
$$
y = -\frac{1}{2}gt^{^2}
\tag{2}$$
Como queremos saber o número de degraus, podemos escrever a posição em $y$ em termos de altura de degrau ($h$), ou seja, escrevemos $y$ como sendo um múltiplo $n$ de alturas de degrau:
$$
y = -nh
\tag{3}$$
Perceba que o sinal de menos se dá pelo fato de que a bola está descendo as escadas e isso está na parte negativa do eixo $y$ do modo como definimos o sistema de coordenadas.
Substituindo a equação (3) em (2) e isolando o tempo, temos:
$$
t = \sqrt{\frac{2nh}{g}}
\tag{4}$$
Substituindo (4) em (1), conseguimos escrever $x$ em termos de $n$ e fatores conhecidos:
$$
x = v_{x}\cdot \sqrt{\frac{2nh}{g}} = 1,52\cdot \sqrt{\frac{2\cdot0,203\cdot n}{9,8}}
\tag{5}$$
Perceba que o valor de $h$ está em metros para ser compatível com a grandeza da velocidade dada (m/s). Fazendo a conta temos que:
$$
x=0,309\sqrt{n}
\tag{6}$$
Como queremos determinar o número de degraus, temos que dividir o valor de $x$ por $l$ (largura da escada). Ainda, para a bola atingir um degrau da escada, precisamos que o valor da razão $x/l$ esteja entre o degrau $n-1$ e $n$. Como o valor de $x$ depende de n, então temos que testar valores de $n$ tal que:
$$
n-1 \lt \frac{x}{l} \lt n \longrightarrow{} n-1\lt \frac{0,309\sqrt{n}}{0,203} \lt n
\tag{7}$$
Digamos que a bola atinja logo o próximo degrau da escada, então temos $n=1$ e com isso temos que:
$$
0 \lt \frac{0,309}{0,203} \lt 1 \longrightarrow{} 0\lt 1,52 \lt1
\tag{8}$$
Ou seja, nossa inequação não é válida e portanto a bola não atingiu o primeiro degrau. Testando para o segundo degrau $(n=2)$:
$$
1\lt \frac{0,309\sqrt{2}}{0,203}\lt2 \longrightarrow{} 0\lt 2,13 \lt1
\tag{9}$$
Ainda não é válida a inequação, portanto não foi no segundo degrau. Testando para o terceiro degrau $(n=3)$:
$$
2\lt \frac{0,309\sqrt{3}}{0,203}\lt3 \longrightarrow{} 2\lt 2,59 \lt3
\tag{10}$$
Perceba que agora nossa inequação é válida e portanto temos a resposta: o primeiro degrau que a bola atinge é o terceiro degrau.
