Moysés Nussenzveig
Curso de Física Básica – 4a Edição
Capítulo 1: Estática dos Fluidos
Exercício 4:
Enunciado:
Calcule a magnitude F da força exercida por um fluido sobre uma área A de parede plana (inclinada de um ângulo qualquer em relação à vertical) do recipiente que o contém. Para isto, divida a área A em faixas infinitésimas dA horizontais (uma delas é mostrada hachurada na Figura P.4); seja… para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.
Dados relevantes fornecidos no enunciado:
Item (a):
A força depende da pressão exercida pelo líquido. Isto é, $F = P A$, onde $P$ é a pressão e $A$ a área na qual ela é exercida. Sabemos que a pressão depende da altura da coluna de líquido, ou seja, $P = \rho g z$.
Sendo assim, a força é dada pela expressão:
$$
F = \rho g z A
\tag{1}$$
De forma que o elemento de força (força sobre cada tira infinitesimal) é dado por:
$$
dF = \rho g z dA
\tag{2}$$
Sendo assim, a expressão pode ser integrada:
$$
F = \rho g z \int_{A} z dA
\tag{3}$$
Nós sabemos que as coordenadas do centro de massa, $\vec{R}_{CM}$ são dadas por:
$$
\vec{R}_{CM} = \frac{1}{M}\int_{A} \rho_{placa}(\vec{r})\vec{r}dA
\tag{4}$$
Onde $\vec{r}$ é o vetor posição, e $\rho_{placa}(\vec{r})$ a densidade em função da posição, e $M$ a sua massa. Sendo a placa homogênea, a densidade independe da posição e sua massa pode ser escrita como $M = \rho_{placa} A$. Além disso, o vetor posição nesse caso é dependente somente da coordenada $z$, logo a expressão 4 se torna:
$$
\vec{R}_{CM} = \frac{1}{\rho_{placa}A}\int_{A} \rho_{placa} z dA = \frac{1}{A} \int_{A}zdA
\tag{5}$$
Como o centroide de $A$, dado por $\bar{z}$ segundo o exercício, é definido como o centro de massa de $A$, podemos escrever então:
$$
\bar{z} = \frac{1}{A} \int_{A}zdA \Rightarrow \int_{A} zdA= \bar{z}A
\tag{6}$$
Dessa forma, podemos substituir a expressão para a integral acima na expressão 3, o que nos deixa com o resultado:
$$
\boxed{F = \rho g \bar{z} A}
\tag{7}$$
Item (b):
O torque é definido como $\tau = \vec{r} \times \vec{F}$, onde $\vec{F}$ é a força aplicada e $\vec{r}$ é o vetor posição (de onde a força está sendo aplicada em relação ao eixo onde o torque está sendo medido). Nesse caso, assim como no item anterior, a força depende da coluna de líquido. Portanto, podemos escrever:
$$
d\tau = \vec{r} \times d\vec{F} = d \rho g z dA
\tag{8}$$
Onde $\vec{F}$ foi substituida pela força da coluna de líquido, e $d$ é a distância de cada tira de área $dA$ do eixo $OO’$.
Para determinarmos $d$, vejamos a figura abaixo. Ela mostra a distância $d$ de cada tira infinetesimal, localizada num ponto A, para uma parede com inclinação $\theta$ em relação à vertical, do ponto $O$ (onde se encontra o eixo $OO’$):
Figura 1: Distância $d$ de uma tira infinitesimal localizada no ponto $A$, da origem $O$. A barragem tem uma inclinação dada por $\theta$, e a tira se encontra a uma profundidade $z$.
Note que apenas usando trigonometria simples nós podemos escrever $d = z/\cos{\theta}$. Sendo assim, a expressão 8 se torna:
$$
d\tau = \frac{z}{\cos{\theta}} \rho g z dA = \frac{\rho g}{\cos{\theta}} z^2 dA
\tag{9}$$
Logo, integrando nós temos:
$$
\tau = \frac{\rho g}{\cos{\theta}} \int_{A} z^2 dA
\tag{10}$$
Utilizando a expressäo 7, o resultado do item anterior, podemos escrever $\rho g = \frac{F}{\bar{z} A}$, o que deixa a expressão acima da seguinte forma:
$$
\tau = \frac{F}{\cos{\theta}} \frac{I_0}{\bar{z}A}
\tag{11}$$
Onde usamos a definição dada no enunciado, $I_0 = \int_A z^2 dA$. Sabendo que o centro das pressões, $z_0$, é definido como $z_0 = I_0/(\bar{z}A)$, a expressão acima se torna o resultado que buscamos:
$$
\boxed{\tau = \frac{F}{\cos{\theta}} z_0}
\tag{12}$$
Nota do autor: Note que a expressão dada no livro não depende de $\theta$, embora seja dito que a parede é inclinada. Eu considero a expressão errada, tendo em vista que a inclinação da barragem influencia diretamente o comprimento do braço de alavanca em relação ao eixo $OO’$ em função da profundidade $z$. Se o comprimento do braço de alavanca muda, o torque é afetado por definição. No caso de uma parede vertical, ou seja $\theta = 0$, a expressão se reduz a do livro.
