Halliday & Resnick
Fundamentos de Física – 10a Edição
Volume 1
Capítulo 4: Movimento em Duas e Três Dimensões
Exercício 49:
Enunciado:
O chute de um jogador de futebol americano imprime à bola uma velocidade inicial de 25 m/s. Quais são (a) o menor e (b) o maior ângulo de elevação que ele pode imprimir à bola para marcar um field goal a partir de um ponto situado… para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.
Dados relevantes fornecidos no enunciado:
Item (a):
O exercício nos pergunta o menor ângulo de elevação que o jogador pode imprimir à bola para marcar um fild goal a partir de um ponto a $x = 50\;m $ da meta cujo travessão está a uma altura de $y=3,44\;m$ em relação ao gramado. Estamos num problema de lançamento balístico, de modo que as equações de movimento para esse tipo de problema é:
$$
x = v_0 \cos\theta_0 t \;\;\;\;\;\;\;\;\; y=v_0\sin\theta_0t -\frac{gt^2}{2}
\tag{1}$$
Da primeira equação, podemos isolar o tempo, dando $t=x/v_0\cos\theta_0$ e substituir esse valor de tempo na expressão para $y$:
$$
y = x\tan\theta_0 – \frac{gx^2}{2v_0^2\cos^2\theta_0}
\tag{2}$$
Perceba que nessa expressão acima nós já conhecemos todos os parâmetros exceto o ângulo, que é a resposta do exercício. Para termos uma solução analítica para esse problema, vamos fazer uma transformação trigonométrica:
$$
\frac{1}{\cos^2\theta_0} = 1+\tan^2\theta_0
\tag{3}$$
A ideia de usar essa transformação é chegar em uma equação do segundo grau para $\theta_0$, no caso aqui, para $\tan\theta_0$ uma vez que esse tipo de equação nós sabemos resolver analiticamente (Bhaskara). Como já temos um termo em primeira ordem em $\tan\theta_0$ na equação de $y$, essa transformação acima vai nos dar um termo independente através do termo ($1$) e um termo quadrático vindo do termo $\tan^2\theta_0$.
Fazendo a transformação, ficamos com:
$$
\frac{gx^2}{2v_0^2}\tan^2\theta_0 – x\tan\theta_0 + y + \frac{gx^2}{2v_0^2} = 0
\tag{4}$$
Para facilitar o cálculo, vamos calcular o termo constante $c=gx^2/2v_0^2$ que aparece em dois termos da equação do segundo grau.
$$
c = \frac{gx^2}{2v_0^2} = \frac{(9,8\;m/s^2)(50\;m)^2}{2(25\;m/s)^2} = 19,6\;m
\tag{5}$$
A equação do segundo grau portanto se torna:
$$
c\tan\theta_0 – x\tan\theta_0+y+c=0
\tag{6}$$
De acordo com a fórmula de Bhaskara, as soluções dessa equação são:
$$
\tan\theta_0 = \frac{x\pm\sqrt{x^2-4(c)(y+c)}}{2c} = \frac{50\;m\pm\sqrt{(50\;m)^2-4(3,44\;+19,6\;m)(19,6\;m)}}{2(19,6\;m)}
\tag{7}$$
As soluções são:
$$
\tan\theta_0=1,95 \;\;\;\;\;\;\;\; \tan\theta_0=0,6
\tag{8}$$
Perceba que essas duas soluções são exatamente os ângulos máximo e mínimo para que o jogador faça o gol. Nesse item, o exercício nos pede o menor ângulo, de modo que usamos o segundo resultado $\theta_0 = \tan^{-1}(0,6)$:
$$
\boxed{\theta_0=31^{\circ}}
\tag{9}$$
Item (b):
Nesse item, o exercício nos pede o maior ângulo para o jogador fazer o gol. Como mostrado no item anterior, essa resposta é a segunda solução da equação do segundo grau resolvida. Portanto, o maior ângulo de elevação será $\theta_0=\tan^{-1}(1,95):$
$$
\boxed{\theta_0=63^{\circ}}
\tag{10}$$
