Exercício 50, Capítulo 4, Fundamentos de Física Vol. 1: projétil

Halliday & Resnick

Fundamentos de Física – 10^a Edição

Volume 1

Capítulo 4: Movimento em Duas e Três Dimensões

Exercício 50:

Enunciado:

Dois segundos após ter sido lançado a partir do solo, um projétil deslocou-se 40 m horizontalmente e 53 m verticalmente em relação ao ponto de lançamento. Quais são as componentes (a) horizontal e (b) vertical da… para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.

Dados relevantes fornecidos no enunciado:

Item (a):

Nesse item, o exercício nos pede a componente horizontal da velocidade inicial do projétil ($v_{0x}$). Para o lançamento balístico, a componente $x$ da velocidade não tem influência de nenhuma aceleração, portanto temos:

$$
\Delta x = v_{0x}t \Longrightarrow v_{0x} = \frac{\Delta x}{t}
\tag{1}$$

Como dado no exercício, temos que $\Delta x = 40\;m$ e o tempo $t=2\;s$, o que resulta:

$$
\boxed{v_{0x} = \frac{40\;m}{2\;s} = 20\;m/s}
\tag{2}$$

Item (b):

Agora, devemos calcular a componente vertical da velocidade inicial do projétil. Como temos apenas informação do tempo e posição vertical ($\Delta y$) do projétil, vamos utilizar a equação de movimento com aceleração constante $g$ e isolar o que queremos calcular ($v_{0y}$):

$$
\Delta y = v_{0y}t -\frac{gt^2}{2} \Longrightarrow v_{0y}=\frac{\Delta y}{t} + \frac{gt}{2}
\tag{3}$$

Pelo enunciado, temos que $\Delta y = 53\;m$ e $t=2\;s$. Com isso:

$$
v_{0y} = \frac{53\;m}{2\;s}+\frac{(9,8\;m/s^2)(2\;s)}{2}
\tag{4}$$

$$
\boxed{v_{0y}=36\;m/s}
\tag{5}$$

Item (c):

Vamos calcular o deslocamento horizontal ($\Delta x$) em relação ao ponto de lançamento no instante em que o projétil atinge a altura máxima em relação ao solo. Como agora sabemos a velocidade vertical inicial calculada no item anterior, podemos usar a equação da velocidade vertical em função do tempo $v_y$ e fazer $v_y=0$ pois é a condição para o projétil estar em sua altura máxima e vamos calcular o tempo $t’$ em que isso ocorre para depois aplicarmos esse tempo na distância em $x$ para termos o deslocamento horizontal pedido:

$$
v_y = 0 = v_{0y}-gt’ \Longrightarrow t’ = \frac{v_{0y}}{g} = \frac{36\;m/s}{9,8\;m/s^2} = 3,7\;s
\tag{6}$$

Como o componente $x$ da velocidade é constante, podemos escrever:

$$
\Delta x = v_{0x}t’ = (20\;m/s)(3,7\;s)
\tag{7}$$

Onde usamos o resultado do item (a) para a velocidade horizontal inicial. Portanto,

$$
\boxed{\Delta x =74\;m}
\tag{8}$$