Exercício 24, Capítulo 14, Fundamentos de Física Vol. 2: represa

Halliday & Resnick

Fundamentos de Física – 10ª Edição

Volume 2

Capítulo 14: Fluidos

Exercício 24

Solução:

Dados relevantes fornecidos no enunciado:

• Uma represa tem água até uma altura $D=35\;m$ e largura $W=314\;m$.

Item (a):

Nesse item, queremos determinar a força horizontal que a represa está submetida por causa da pressão manométrica da água. A Figura 14-35 do livro ilustra o problema. A pressão manométrica $p$ da água a uma profundidade $y$ é dada por:

$$
p = \rho g y \tag{1}
$$

Em que $\rho$ é a massa específica da água. Essa pressão relaciona justamente a força exercida pela água e a água coberta por ela, dada por:

$$
dF = p dA \tag{2}
$$

Ou seja, para calcular a força total exercida pela água, devemos integrar na área total em que a água está em contato com as paredes da represa. Vamos considerar uma faixa horizontal da parede da represa com largura $W$, espessura vertical $dy$ a uma profundidade $y$. Podemos escrever, portanto, que a área dessa faixa é:

$$
dA = Wdy \tag{3}
$$

Substituindo as Equações (1) e (3) em (2), ficamos com:

$$
dF = \rho g y W dy \tag{4}
$$

De modo que a força total que a água exerce sobre a parede pode ser calculada integrando a força em toda a altura $D$, ou seja:

$$
F = \int_0^D \rho gyW dy = \frac{1}{2}\rho gWD^2 \tag{5}
$$

Agora, basta substituir os valores numéricos, lembrando que o valor específico da água é $\rho = 10^3\;kg/m^3$, resultando:

$$
\boxed{F = \frac{1}{2}(10^3\;kg/m^3)(9,8\;m/s^2)(314\;m)(35\;m)^2 = 1,88\times10^9\;N} \tag{6}
$$

Item (b):

Nesse item, o exercício nos pede para calcular o torque produzido por essa força em relação a uma reta que passa pelo ponto $O$ e paralela à face plana da represa, como mostrado na Figura do livro.

Considere novamente um infinitesimal de faixa $dy$ a uma profundidade da água $y$. O comprimento do braço de alavanca dessa faixa em relação a reta que passa em $O$ será $(D-y)$, ou seja, a distância entre a altura de $y$ em relação ao fundo da represa. O torque exercido por essa faixa será, portanto de:

$$
d\tau = (D-y)dF = (D-y)\rho gyWdy \tag{7}
$$

No qual usamos a Equação (4) na última igualdade. Novamente, para calcular o torque total, basta integrarmos o torque para toda a profundidade da represa, ou seja:

$$
\tau = \int_0^D \rho gWy(D-y)dy = \rho gW\left(\frac{1}{2}D^3-\frac{1}{3}D^3\right) = \frac{1}{6}\rho gWD^3 \tag{8}
$$

Substituindo os valores numéricos, temos:

$$
\boxed{\tau = \frac{1}{6}(10^3\;kg/m^3)(9,8\;m/s^2)(314\;m)(35\;m)^3 = 2,2\times10^{10}\;Nm} \tag{9}
$$

Item (c):

Por fim, o exercício nos pede para determinar o comprimento do braço de alavanca do torque. A relação entre torque e força é justamente o braço de alavanca:

$$
r = \frac{\tau}{F} \tag{10}
$$

Agora, temos a expressão tanto da força (Equação (5)) e do torque (Equação (8)), portanto, substituindo essas expressões na Equação acima, temos:

$$
\boxed{r = \frac{\tau}{F} = \frac{\frac{1}{6}\rho gWD^3}{\frac{1}{2}\rho gWD^2} = \frac{D}{3}=\frac{35\;m}{3} = 11,7\;m} \tag{11}
$$