Halliday & Resnick
Fundamentos de Física – 10a Edição
Capítulo 28: Campos Magnéticos
Exercício 47:
Enunciado:
Uma barra de cobre de 1,0 kg repousa em dois trilhos horizontais situados a 1,0 m de distância um do outro e é percorrida por uma corrente de 50 A. O coeficiente de atrito estático entre a barra e trilhos é 0,60… para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.
Dados relevantes fornecidos no enunciado:
Item (a):
Sabemos que a força de um campo magnético $B$ sobre um fio de comprimento $L$, percorrido por uma corrente $i$ é dada por:
$$
\vec{F_{mag}} = i \vec{L} \times \vec{B}
\tag{1}$$
Além disso, sabemos que a força de atrito, $\vec{F_a}$, é dado pelo produto da força normal, $\vec{F_{n}}$, com o coeficiente de atrito, ou seja:
$$
\vec{F_a} = \vec{F_n}\mu
\tag{2}$$
Sobre o fio, além da força magnética, age também a força peso. A força normal é, portanto, dada pela soma da força peso e da componente vertical da força magnética:
$$
\vec{F} = m\vec{g} + \vec{F_{mag,y}}
\tag{3}$$
Figura 1: Sistema de coordenadas do problema, com o fio posicionado ao longo do eixo $x$ e o campo magnético em uma direção qualquer.
Vamos adotar um sistema de coordenadas como na figura 1, onde $\vec{L}$ é na direção $x$. Dessa forma, a força magnética é dada por:
$$
\vec{F_{mag}} = i L \hat{x} \times (B_x \hat{x} + B_y \hat{y} + B_z \hat{z})
\tag{4}$$
Sendo $\vec{L}$ na direção $x$, o primeiro termo do produto vetorial desaparece, o que nos deixa com:
$$
\vec{F_{mag}} = iL\left[B_y (\hat{x}\times\hat{y}) + B_z (\hat{x}\times\hat{z})\right] = iL(B_y \hat{z} – B_z\hat{y})
\tag{5}$$
Nesse sistema de coordenadas, a força peso é no sentido negativo de $\hat{z}$, portanto podemos escrever a força normal como a soma da componente vertical da força magnética e a força peso (lembrando que a força normal aponta no sentido oposto):
$$
\vec{F_n} = -(iLB_y \hat{z} – mg \hat{z}) = mg\hat{z} – iLB_y\hat{z}
\tag{6}$$
Sendo assim, a força de atrito é:
$$
F_a = \mu(mg-iLB_y)
\tag{7}$$
Para que o fio se mova, a força exercida no eixo $y$ (tendo em vista que não há componente $x$ da força nesse sistema de coordenadas), deve ser igual ou maior que a força de atrito, portanto podemos escrever:
$$
iLB_z = \mu (mg – iLB_y)
\tag{8}$$
Fazendo as projeções do campo magnético de acordo com o sistema de coordenadas da figura 1, sabemos que $B_z = B \cos{\phi}$ e $B_y = B \sin{\phi} \sin{\theta}$, portanto:
$$
iLB\cos{\phi} = \mu (mg – iLB\sin{\phi}\sin{\theta})
\tag{9}$$
Reorganizando a expressão para obtermos o valor de $B$, temos:
$$
B = \frac{\mu m g}{iL} \frac{1}{(\cos{\phi} + \mu \sin{\phi}\sin{\theta})}
\tag{10}$$
Para descobrirmos o menor campo magnético em função do ângulo com a vertical ($\phi$), temos que calcular a derivada de $B$ em relação a essa variável e igualá-la a zero, isto é:
$$
\frac{\partial B}{\partial\phi} = \frac{\mu m g}{iL} \frac{\partial}{\partial\phi} \frac{1}{(\cos{\phi} + \mu \sin{\phi}\sin{\theta})} = 0
\tag{11}$$
Perceba que na expressão anterior as constantes foram passadas para fora do operador para simplificar a notação. A derivada pode ser calculada através da regra da cadeia:
$$
\frac{\partial}{\partial\phi} \frac{1}{(\cos{\phi} + \mu \sin{\phi}\sin{\theta})} = -(\cos{\phi} + \mu \sin{\phi}\sin{\theta})^{-2} (-\sin{\phi} +\mu\sin{\theta}\cos{\phi}) = \frac{\mu\sin{\theta}\cos{\phi} -\sin{\phi}}{(\cos{\phi} + \mu \sin{\phi}\sin{\theta)})^2}
\tag{12}$$
Igualando esse resultado a 0, temos:
$$
\frac{\mu\sin{\theta}\cos{\phi} – \sin{\phi}}{(\cos{\phi} + \mu \sin{\phi}\sin{\theta)})^2} = 0 \Rightarrow \tan{\phi} = \mu\sin{\theta}
\tag{13}$$
O exercício se interessa apenas no ângulo com o eixo vertical, mas não diz nada sobre o ângulo $\theta$. Assumiremos que $\theta = \pi/2$, de modo que a componente $y$ é a maior possível (lembre-se que ela depende de $\sin{\theta}$). Sendo assim, o ângulo é dado por:
$$
\phi = \arctan(\mu) = \arctan{0.60} \approx 31^{\circ}
\tag{14}$$
Sabendo o ângulo, podemos calcular o campo menor campo magnético usando a equação 10:
$$
B = \frac{0.6 \cdot 1 \; kg \cdot 9.8 \; m/s^2}{50 \; A \cdot 1 \; m} \frac{1}{\cos{31^\circ} + 0.6 \cdot \sin{31^\circ}} = 0.10 \; T
\tag{15}$$
Então temos:
$$
\boxed{B = 0.10 \; T}
\tag{16}$$
Item (b):
Do item anterior, o ângulo com a vertical, $\phi$, é:
$$
\boxed{\phi = 31^\circ}
\tag{17}$$
