Halliday & Resnick
Fundamentos de Física – 10a Edição
Capítulo 20: Entropia e a Segunda Lei da Termodinâmica
Exercício 47:
Enunciado:
Uma caixa contém N moléculas de um gás. A caixa é dividida em três partes iguais. (a) Por extensão da Eq. 20-20, escreva uma fórmula para a multiplicidade de qualquer configuração dada. (b) Considere duas configurações: a configuração A, com números iguais de moléculas nas três divisões da caixa, e a configuração B, com números iguais de moléculas em cada lado da caixa dividida em duas partes iguais em vez de em três… para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.
Dados relevantes fornecidos no enunciado:
Item (a):
Nesse item, o exercício nos pede para escrever uma fórmula para a multiplicidade de qualquer configuração dada, usando a Equação 20.20 do livro, que é:
$$
W = \frac{N!}{n_1!n_2!}
\tag{1}$$
No qual, segundo o livro, $W$ é o número de microestados que correspondem a uma configuração, $n_1$ e $n_2$ é o número de moléculas na partição 1 e 2 da caixa, respectivamente, de modo que $n_1+n_2=N$. O que queremos nesse item é uma expressão para $W$ para uma caixa com qualquer número de divisões dada. Ora, a caixa pode ser dividida em um número qualquer de partes iguais, digamos $m$. Desse modo, na parte 1 teríamos $n_1$ moléculas que podem ser rearranjadas de $n_1!$ maneiras. Isso também se aplica para a parte 2, 3, … até m. Como o exerício diz, por extensão da Equação 20.20, a multiplicidade nesse caso será:
$$
\boxed{W=\frac{N!}{n_1!n_2!n_3!…n_m!}}
\tag{2}$$
Item (b):
Agora, temos duas configurações possíveis, A e B. Na configuração A temos a caixa dividida em 3 partes com número igual de moléculas em cada uma das partes, ou seja, cada parte terá $N/3$ moléculas. Já a configuração B, temos a caixa dividida em 2 partes, também com o mesmo número de moléculas em cada uma das partes, portanto, nesse caso teremos $N/2$ moléculas em cada uma das duas partes da caixa na configuração B. O exercício nos pergunta a razão $W_A/W_B$.
Como já foi dito, para o caso A teremos $n_1=n_2=n_3=N/3$, de modo que:
$$
W_A = \frac{N!}{(N/3)!(N/3)!(N/3)!}
\tag{3}$$
Do mesmo modo, para B teremos que $n_1=n_2=N/2$:
$$
W_B = \frac{N!}{(N/2)!(N/2)!}
\tag{4}$$
Com isso teremos que a razão entre as multiplicidades de A e B é:
$$
\boxed{\frac{W_A}{W_B} = \frac{(N/2)!(N/2)!}{(N/3)!(N/3)!(N/3)!}}
\tag{5}$$
Item (c):
Agora, o exercício nos pede para calcular o que desenvolvemos no item anterior para $N=100$. Para o $W_A$, o exercício nos diz para dividir as 100 moléculas em partes de 33, 33 e 34 já que a divisão não é exata. Para $W_B$, teremos 50 moléculas para cada parte. Portanto, temos então que:
$$
\boxed{\frac{W_A}{W_B} = \frac{(100/2)!(100/2)!}{(33)!(33)!(34)!} = 4.2\times10^{16}}
\tag{6}$$
