Halliday & Resnick
Fundamentos de Física – 10a Edição
Capítulo 6: Força e Movimento II
Exercício 33:
Enunciado:
Um barco de 1000 kg está navegando a 90 km/h quando o motor é desligado. O módulo da força de atrito $\vec{f_k}$ entre o barco e a água é proporcional à velocidade v do barco: $\vec{f_k}=70v$, em que v está em metros por segundo, e $\vec{f_k}$ está em newtons. Determine o tempo necessário para que a velocidade … para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.
Dados relevantes fornecidos no enunciado:
Item Único:
Devemos determinar o tempo necessário para que a velocidade do barco diminua para $v=45\;km/h$. A força de atrito está sempre apontando para a direção contrária a do movimento e pelo enunciado, ela é a única força atuando no sistema uma vez que o barco é desligado. Então, de acordo com a segunda Lei de Newton:
$$
\vec{f_k} = m\vec{a} \Rightarrow -70v = m\frac{dv}{dt} \Rightarrow \frac{dv}{v}=-\frac{70}{m}dt
\tag{1}$$
No qual colocamos a esquerda da igualdade os fatores relacionados a velocidade e a direita o diferencial de tempo. Agora, podemos aplicar a integral em ambos os lados:
$$
\int_{v_0}^v \frac{dv}{v} = -\frac{70}{m} \int_{0}^t dt
\tag{2}$$
Resolvendo a integral, temos:
$$
ln\left(\frac{v}{v_0}\right)=-\frac{70t}{m}
\tag{3}$$
Perceba que a velocidade do barco no final do tempo t (45 km/h) é metade da velocidade quando o barco foi desligado no tempo t=0 (90 km/h):
$$
v = \frac{v_0}{2} \Rightarrow ln\left(\frac{v}{v_0}\right) = ln\left(\frac{1}{2}\right) = -0,7
\tag{4}$$
Isolando o tempo na Equação 3 e substituindo o termo calculado na Equação 4, temos:
$$
t = -0,7\left(-\frac{m}{70}\right)
\tag{5}$$
Substituindo a massa, temos:
$$
\boxed{t = 0,01(1000)=10\;s}
\tag{6}$$
As grandezas podem ser verificadas vendo que:
$$
t \propto \frac{m(kg)}{70(kg/s)} \propto s
\tag{7}$$
Pois $ = N = kg\cdot m/s^2 = 70 = 70\cdot m/s \Rightarrow =kg/s$
