Halliday & Resnick
Fundamentos de Física – 10a Edição
Capítulo 20: Entropia e a Segunda Lei da Termodinâmica
Exercício 35:
Enunciado:
O ciclo da Fig. 20-31 representa a operação de um motor de combustão interna a gasolina. O volume $V_3 = 4,00V_1$. Suponha que a mistura de admissão gasolina-ar é um gás ideal com $\gamma = 1,30$. Qual é a razão… para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.
Dados relevantes fornecidos no enunciado:
Item (a):
O exercício nos pergunta a razão $T_2/T_1$. O ciclo é mostrado na Figura 20-31 do livro. Temos dois processos a volume constante e dois processo adiabáticos, ou seja, não já variação de calor. Segundo a Equação de Clapeyron para o ponto 2 do ciclo, temos:
$$
T_2 = \frac{p_2V_2}{nR}
\tag{1}$$
Veja que o gráfico nos diz no seu eixo y que $p_2=3p_1$, temos também que o volume no processo 1 para 2 não varia, ou seja, $V_1=V_2$, portanto, temos que:
$$
T_2 = \frac{3p_1V_1}{nR}
\tag{2}$$
Novamente, podemos escrever a Equação (1) mas dessa vez para $V_1$ de modo a substituí-lo na Equação (2):
$$
V_1 = \frac{nRT_1}{p_1}
\tag{3}$$
Assim, a Equação (2) fica:
$$
\boxed{T_2 = 3T_1 \longrightarrow \frac{T_2}{T_1}=3}
\tag{4}$$
Item (b):
Nesse item, o exercício nos pergunta a razão $T_3/T_1$. Como o processo de 2 para 3 é adiabático, podemos escrever que:
$$
T_2V_2^{\gamma-1} = T_3V_3^{\gamma-1}
\tag{5}$$
Podemos usar o resultado do item (a) para substituir $T_2$ por $T_1$ que iremos precisar para conseguir a resposta desse item.
$$
\frac{T_3}{T_1}=\frac{T_3}{T_2/3} = 3\left(\frac{V_2}{V_3}\right)^{\gamma-1}
\tag{6}$$
Onde usamos que a Equação (5) isolando $T_2$ para escrever a última igualdade da equação anterior e simplificamos $T_3$. Agora, usamos que $V_2=V_1$ e $V_3=4V_1$ e $\gamma=1,3$ para encontrarmos o valor numérico para a razão de temperaturas pedido:
$$
\boxed{\frac{T_3}{T_1} = 3\left(\frac{V_2}{V_3}\right)^{\gamma-1} = 3\left(\frac{1}{4}\right)^{1,3-1} = 1,98}
\tag{7}$$
Veja que $V_1$ é naturalmente simplificado.
Item (c):
Agora, precisamos calcular a razão $T_4/T_1$. Novamente, o processo de 4 para 1 é adiabático, então podemos escrever:
$$
T_4V_4^{\gamma-1} = T_1V_1^{\gamma-1}
\tag{8}$$
Como sabemos que $V_4=4V_1$, temos:
$$
\boxed{\frac{T_4}{T_1} = \left(\frac{V_1}{V_4}\right)^{\gamma-1} = \left(\frac{1}{4}\right)^{1,3-1} = 0,66}
\tag{9}$$
Item (d):
Agora, temos que calcular $p_3/p_1$. Podemos usar novamente o processo adiabático de 2 para 3, dessa vez usando a expressão de $p$ e $V$ que se conserva nesse tipo de processo:
$$
p_2V_2^{\gamma} = p_3V_3^{\gamma} \longrightarrow p_3 = \left(\frac{V_2}{V_3}\right)^{\gamma}p_2
\tag{10}$$
Agora, temos todas as informações numéricas $V_3=4V_1$, $V_2=V_1$, $p_2=3p_1$ e $\gamma=1,3$, resultando:
$$
\boxed{\frac{p_3}{p_1} = \frac{3}{4^{1,3}} = 0,495}
\tag{11}$$
Item (e):
Nesse item, devemos calcular $p_4/p_1$. O processo de 4 para 1 também é adiabático, portanto podemos usar a relação:
$$
p_4V_4^{\gamma} = p_1V_1^{\gamma} \longrightarrow \frac{p_4}{p_1}= \left(\frac{V_1}{V_4}\right)^\gamma
\tag{12}$$
Sabendo que $V_4=4V_1$, temos que:
$$
\boxed{\frac{p_4}{p_1}=\frac{1}{4^{1,3}}=0,165}
\tag{13}$$
Item (f):
Por fim, devemos calcular a eficiência do motor ($\epsilon$). Uma das formas de calcular essa grandeza é através da equação:
$$
\epsilon = \frac{W}{Q_{12}}
\tag{14}$$
No qual $W$ é o trabalho realizado no ciclo fechado e no denominador é todo o calor recebido pelo ciclo, que no caso ocorre apenas no processo $1\longrightarrow2$ dado por $Q_{12}$. O trabalho é dado pela área sobre a curva para cada processo (cuidado com o sinal dependendo da direção do trajeto), portanto, processos com volume constante apresentam área zero nesse gráfico e com isso:
$$
W_{12} = W_{34} = 0
\tag{15}$$
O calor recebido $Q_{12}$ é dado pela diferença de temperatura entre as duas adiabáticas com calor específico a volume constante $C_V$ (veja o ciclo):
$$
Q_{12} = nC_V(T_2-T_1) = nC_V(3T_1-T_1) = 2nC_VT_1
\tag{16}$$
Onde usamos o resultado do item (a). Como:
$$
\gamma = \frac{C_P}{C_V} = \frac{C_V+R}{C_V} = 1+\frac{R}{C_V}
\tag{17}$$
De modo que:
$$
C_V=\frac{R}{\gamma-1} \longrightarrow Q_{12} = \frac{2nRT_1}{\gamma-1}
\tag{18}$$
Agora nos resta calcular os termos $W_{23}$ e $W_{41}$ usando a relação $W=\int pdV$. Para o processo de 2 para 3, temos um processo adiabático, portanto, vale que:
$$
p(V) = \frac{p_2V_2^\gamma}{V^\gamma}
\tag{19}$$
Integrando de $V_2$ até $V_3$:
$$
W_{23} = p_2V_2^\gamma \int_{V_2}^{V_3} V^{-\gamma} dV = \left(\frac{p_2V_2^\gamma}{\gamma-1}\right)(V_2^{1-\gamma}-V_3^{1-\gamma})
\tag{20}$$
Usando que $V_2=V_1$, $V_3=4V_1$ e $p_3=3p_1$, ficamos com:
$$
W_{23} = \left(\frac{3p_1V_1}{\gamma-1}\right)\left(1-\frac{1}{4^{\gamma-1}}\right) = \left(\frac{3nRT_1}{\gamma-1}\right)\left(1-\frac{1}{4^{\gamma-1}}\right)
\tag{21}$$
Para o processo de 4 para 1, temos novamente um processo adiabático onde a única diferença é que o volume final ($V_1$) é menor que a inicial ($V_4$), de modo que as contas são as mesmas como mostrado do processo anterior com exceção do sinal trocado:
$$
W_{41} =\left(\frac{p_1V_1^\gamma}{\gamma-1}\right)(V_4^{1-\gamma}-V_1^{1-\gamma})= -\left(\frac{p_1V_1}{\gamma-1}\right)\left(1-\frac{1}{4^{\gamma-1}}\right) = -\left(\frac{nRT_1}{\gamma-1}\right)\left(1-\frac{1}{4^{\gamma-1}}\right)
\tag{22}$$
Finalmente, temos que o trabalho total do ciclo é:
$$
W = W_{23} + W_{41} = \left(\frac{2nRT_1}{\gamma-1}\right)\left(1-\frac{1}{4^{\gamma-1}}\right)
\tag{23}$$
Com isso, chegamos a eficiência:
$$
\epsilon = \frac{W}{Q_{12}} = \frac{\left(\frac{2nRT_1}{\gamma-1}\right)\left(1-\frac{1}{4^{\gamma-1}}\right)}{\frac{2nRT_1}{\gamma-1}} = \left(1-\frac{1}{4^{\gamma-1}}\right)
\tag{24}$$
O que nos resulta em:
$$
\boxed{\epsilon = \left(1-\frac{1}{4^{1,3-1}}\right) = 0,34 = 34\%}
\tag{25}$$
