Halliday & Resnick
Fundamentos de Física – 10ª Edição
Volume 1
Capítulo 3: Vetores
Exercício 44
Enunciado:
No produto $\vec{F} =q \vec{v} \times \vec{B} $, faça $q=2$, $\vec{v} = 2\hat{i}+4\hat{j}+6\hat{k}$ e $\vec{F} = 4\hat{i}-20\hat{j}+12\hat{k}$… para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.
Solução:
Dados relevantes fornecidos no enunciado:
- $\vec{F} = q\vec{v}\times\vec{B}$, com $q=2$;
- $\vec{v} = 2\hat{i}+4\hat{j}+6\hat{k}$;
- $\vec{F} = 4\hat{i}-20\hat{j}+12\hat{k}$;
- $B_{x}=B_{y}$
Item único:
Devemos determinar $\vec{B}$ na notação de vetores unitários. Primeiramente, vamos abrir o produto vetorial $q\vec{v}\times\vec{B}$ em termos de suas coordenadas, dado pela definição de produto vetorial:
$$F_{x}\hat{i}+F_{y}\hat{j}+F_{z}\hat{k} = q(v_{y}B_{z}-v_{z}B_{y})\hat{i} + q(v_{z}B_{x}-v_{x}B_{z})\hat{j}+q(v_{x}B_{y}-v_{y}B_{x})\hat{k} \tag{1}
$$
Como curiosidade, perceba que a componente $\hat{i}$ do produto vetorial não tem termos em x nem de \vec{v} nem de \vec{B}. Isso acontece para as três componentes. Essa é uma maneira de memorizar o produto vetorial.
Agora, já temos condições de substituir os valores numéricos e separando as equações nas componentes $\hat{i}$, $\hat{j}$ e $\hat{k}$:
$$4 = 2(4B_{z}-6B_{y}) \tag{2}
$$
$$-20 = 2(6B_{x}-2B_{z}) \tag{3}
$$
$$12 = 2(2B_{y}-4B_{x}) \tag{4}
$$
Como nos foi informado que $B_{y}=B_{x}$, a equação (4), fica:
$$12 = 2(-2B_{y}) \xrightarrow{} B_{y} = -3 \tag{5}
$$
Substituindo $B_{y}$ na equação (2), ficamos com:
$$4 = 2(4B_{z}-6(-3)) \xrightarrow{} B_{z} = -4 \tag{6}
$$
Como $B_{y}=B_{x}$, temos que:
$$B_{x} = -3 \tag{7}
$$
Então, o vetor $\vec{B}$ na notação de vetores unitários fica:
$$\boxed{\vec{B} = -3\hat{i}-3\hat{j}-4\hat{k}} \tag{8}
$$
