Halliday & Resnick
Fundamentos de Física – 10ª Edição
Volume 1
Capítulo 3: Vetores
Exercício 41
Enunciado:
Use a definição de produto escalar $\vec{a} – \vec{b} = a b cos \theta$ e o fato de que $\vec{a} \cdot \vec{b} =a_x b_x +a_y b_y +a_z b_z $ para calcular o ângulo entre os vetores… para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.
Solução:
Dados relevantes fornecidos no enunciado:
- Vetor $\vec{a} = 3\hat{i}+3\hat{j}+3\hat{k}$;
- Vetor $\vec{b} = 2\hat{i}+1\hat{j}+3\hat{k}$.
Item único:
Precisamos calcular o ângulo entre os vetores $\Vec{a}$ e $\Vec{b}$. O exercício já nos dá duas expressões para calcular produto escalar. Igualando as duas, temos:
$$\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|cos\theta = a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z} \tag{1}
$$
Podemos agora isolar $cos\theta$:
$$cos\theta = \frac{a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z}}{|\vec{a}||\vec{b}|} \tag{2}
$$
Os módulos de $\vec{a}$ e $\vec{b}$ são:
$$|\vec{a}| = \sqrt{a_{x}^2+a_{y}^2+a_{z}^2} = \sqrt{3^2+3^2+3^2} = 5,2 \tag{3}
$$
$$|\vec{b}| = \sqrt{b_{x}^2+b_{y}^2+b_{z}^2} = \sqrt{2^2+1^2+3^2} = 3,7 \tag{4}
$$
Então, agora é possível calcular $cos\theta$ da equação (2):
$$cos\theta = \frac{(3)(2)+(3)(1)+(3)(3)}{(5,2)(3,7)}=0,93 \tag{5}
$$
O ângulo $\theta$ é dado pelo arccos:
$$\boxed{\theta = arccos(0,93) = 21,5^{o}} \tag{6}
$$
