Exercício 43, Capítulo 23, Fundamentos de Física Vol. 3: placa isolante

Halliday & Resnick

Fundamentos de Física – 10ª Edição

Volume 3

Capítulo 23: Lei de Gauss

Exercício 43

Solução:

Dados relevantes fornecidos no enunciado:

• Seção reta de uma placa isolante, muito extensa;
• Placa tem espessura $d=9,4\;mm$ e densidade volumétrica uniforme $\rho=5,8\;fC/m^3$;
• A origem do eixo $x$ está no centro da placa.

Item (a):

O exercício nos pede para determinar o módulo do campo elétrico em $x=0$. A Figura 23-51 do livro mostra a placa descrita no exercício. Vamos usar uma superfície gaussiana em forma de paralelepípedo como mostrado na Figura 1 abaixo.

Figura 1: Placa isolante em cinza e superfície gaussiana em azul.

Veja que escolhemos uma superfície gaussiana (lembre-se que a Lei de Gauss espera uma superfície fechada) de modo que as faces esquerda e direita estão a uma distância $x$ do plano centro em $x=0$. Veja que a altura e a profundidade foram escolhidas de modo que temos um quadrado de área $a^2$ paralelo as faces da placa isolante. Como o exercício nos diz que a placa é muito extensa (ou seja, a altura e profundidade da superfície gaussiana $>> d$), podemos assumir que o campo elétrico é perpendicular às faces direita e esquerda da placa. Além disso, como a densidade de carga é positiva, o campo elétrico aponta para fora das duas faces (veja Figura 1). Por isso, tal campo elétrico é paralelo as outras faces do paralelepípedo, de modo que o fluxo nelas é zero. Para os planos paralelos as faces da esquerda e direita, o fluxo é $Ea^2$ para cada face (lembre que o versor área aponta sempre para fora da superfície de modo que $\vec{E}\cdot \vec{A}>0$, nesse caso). Com isso, o fluxo total na superfície gaussiana será a soma dos fluxos de cada uma das faces:

$$
\Phi = 2Ea^2\tag{1}
$$

Agora, temos que calcular a carga envolvida pela superfície gaussiana. O volume dessa superfície é o volume do paralelepípedo dado por $V = 2xa^2$ de modo que a carga será:

$$
q = V\rho = 2xa^2\rho\tag{2}
$$

Assim, a Lei de Gauss fica:

$$
\Phi = \frac{q}{\epsilon_0} \Longrightarrow 2Ea^2 = \frac{2xa^2\rho}{\epsilon_0}\tag{3}
$$

Com isso, temos a expressão para o campo elétrico para qualquer valor de $x$:

$$
E(x) = \frac{\rho}{\epsilon_0}x\tag{4}
$$

Perceba que o valor da altura e profundidade da superfície gaussiana (nesse caso, $a$) foi uma escolha arbitrária nossa mas esse valor não aparece no resultado final. Além disso, veja que esse resultado só vale para valores de $x<d$, uma vez que para $x>d$ a carga envolvida pela superfície gaussiana não depende de $x$ e portanto teremos uma outra expressão.

Como o exercício, nesse item, nos pediu o campo para $x=0$:

$$
\boxed{E(0) = \frac{\rho}{\epsilon_0} (0) = 0}\tag{5}
$$

Item (b):

Agora, vamos calcular o campo elétrico para $x=2\;mm$. Como $x<d$, podemos aplicar a Equação (4):

$$
E(2\;mm) = \frac{\rho}{\epsilon_0}x = \frac{(5,8\times10^{-15}\;C/m^3)(2\times10^{-3}\;m)}{8,85\times10^{-12}\;C^2/Nm^2} = 1,3\times10^{-6}\;N/C \tag{6}
$$

Com isso:

$$
\boxed{E(2\;mm)=1,3\;\mu N/C }\tag{7}
$$

Item (c):

Vamos calcular o campo elétrico para $x=4,7\;mm$. Novamente, como $x<d$, podemos aplicar a Equação (4):

$$
E(4,7\;mm) = \frac{\rho}{\epsilon_0}x = \frac{(5,8\times10^{-15}\;C/m^3)(4,7\times10^{-3}\;m)}{8,85\times10^{-12}\;C^2/Nm^2} = 3,1\times10^{-6}\;N/C \tag{8}
$$

Com isso:

$$
\boxed{E(4,7\;mm)=3,1\;\mu N/C } \tag{9}
$$

Item (d):

Agora, o exercício nos pede o campo elétrico em $x=26\;mm$. Como agora $x>d$, utilizamos uma superfície gaussiana com mesma forma da Figura 1 mas com $x>d/2$, com as faces da esquerda e direita para fora da placa. O fluxo total de campo continua sendo:

$$
\Phi = 2Ea^2\tag{10}
$$

Mas agora o volume do paralelepípedo em que há carga interna será $V=a^2d$, de modo que a carga total será:

$$
q = V\rho = a^2d\rho\tag{11}
$$

Com isso, a Lei de Gauss fica:

$$
Ea^2 = \frac{a^2d\rho}{\epsilon_0}\tag{12}
$$

Portanto:

$$
E = \frac{\rho d}{2\epsilon_0} = \frac{(5,8\times10^{-15}\;C/m^3)(9,4\times10^{-3}\;m)}{2(8,85\times10^{-12}\;C^2/Nm^2)} = 3,1\times10^{-6}\;N/C\tag{13}
$$

Ou seja,

$$
\boxed{E = 3,1\;\mu N/C}\tag{14}
$$