Halliday & Resnick
Fundamentos de Física – 10ª Edição
Volume 3
Capítulo 23: Lei de Gauss
Exercício 32
Enunciado:
Um cilindro maciço, longo, isolante, com $4,0 ; cm$ de raio, possui uma densidade volumétrica de carga não uniforme $ rho $ que é uma função da distância radial $r$ a partir do eixo do cilindro… para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.
Solução:
Dados relevantes fornecidos no enunciado:
- Cilindro maciço, longo, isolante com raio $R=4;cm$;
- O cilindro tem densidade de carga $rho$ não uniforme dado por $rho=Ar^2$, sendo $r$ a distância radial a partir do eixo do cilindro;
- $A=2,5;mu C/m^5$.
Item (a):
O exercício nos pergunta o módulo do campo elétrico em $r=3;cm$, ou seja, em um ponto radial dentro do cilindro. Para isso, vamos usar a lei de Gauss:
$$
oint_S vec{E}cdot dvec{A} = frac{q_{env}}{epsilon_0}tag{1}
$$
Primeiramente, vamos pensar sobre a carga envolvida. A superfície gaussiana mais adequada para esse caso é uma superfície cilíndrica de raio $r$ concêntrica ao cilindro do problema. Como o cilindro é maciço e isolante, haverá carga por todo o volume da superfície gaussiana, mas lembre-se que a densidade de carga varia com $r$ e portanto teremos que integrar a densidade de cargas no volume da superfície gaussiana:
$$
q_{env} = int_0^r rho(r)dVtag{2}$$
Temos que expressar o diferencial de volume em um diferencia de raio. Para isso, vamos utilizar a simetria cilíndrica. O volume do cilindro é dado por $V=pi r^2 L$, de modo que um diferencia de volume será $dV = 2pi rLdr$. Com isso, a carga envolvida pelo cilindro é:
$$
q_{env} = int_0^r (Ar^2)2pi rLdr = 2pi AL int_0^r r^3dr = frac{pi ALr^4}{2}tag{3}
$$
Vamos aplicar esse resultado na Lei de Gauss. Veja que agora temos um diferencial de área. A área do cilindro gaussiano é dado por $A=2pi rL$. Como as linhas de campo são radiais, elas são paralelas ao vetor normal da superfície e portanto ficamos com:
$$
oint_S vec{E}cdot dvec{A} = E(2pi rL) =frac{q_{env}}{epsilon_0} = frac{pi ALr^4}{2epsilon_0}tag{4}
$$
Usando a igualdade do segundo e quarto termo e isolando o campo elétrico, temos:
$$
E = frac{pi ALr^4}{2epsilon_0(2pi rL)} = frac{Ar^3}{4epsilon_0}tag{5}$$
Substituindo os valores, ficamos com:
$$
E = frac{(2,5times10^{-6};C/m^5)(0,03;m)^3}{4(8,8times10^{-12};C^2/Nm^2)}tag{6}$$
O que resulta em:
$$
boxed{E = 1,9;N/C}tag{7}
$$
Item (b):
Agora, devemos calcular o campo elétrico para $r=5;cm$. Veja que agora a superfície cilíndrica envolve todo a carga uma vez que envolve todo o cilindro do problema. Por isso, a carga envolvida pela superfície gaussiana será agora a carga total $Q$ do cilindro, que será dada pela mesma integral da Equação (3) mas com limite de integração de 0 a $R$:
$$
Q = int_0^R (Ar^2)2pi rLdr = 2pi AL int_0^R r^3dr = frac{pi ALR^4}{2}tag{8}
$$
Usando a Lei de Gauss:
$$
oint_S vec{E}cdot dvec{A} = E(2pi rL) = frac{Q}{epsilon_0} = frac{pi ALR^4}{2epsilon_0}tag{9}
$$
Novamente usando o segundo e o quarto termo e isolando o campo elétrico, temos:
$$
E = frac{AR^4}{4repsilon_0} = frac{(2,5times10^{-6};C/m^5)(0,04;m)^4}{4(0,05;m)(8,8times10^{-12};C^2/Nm^2)}tag{10}
$$
O que resulta em:
$$
boxed{E = 3,6;N/C} tag{11}
$$
