Exercício 42, Capítulo 2, Fundamentos de Física Vol. 1: polícia

Halliday & Resnick

Fundamentos de Física – 10ª Edição

Volume 1

Capítulo 2: Movimento retilíneo

Exercício 42

Solução:

Dados relevantes fornecidos no enunciado:

• $x_{pol}-x_{vc} = 25\;m$, ambos a 110 km/h;
• Você se distrai por 2 s e no início desse tempo, a polícia desacelera a $a=-5\;m/s^{2}$.

Item (a):

Nesse item, nos é pedido a distância entre os dois carros depois desses 2 segundos. Para isso, vamos calcular a distância percorrida pelos dois carros nesse tempo. Seu carro está com velocidade constante de:

$$
v = \frac{110\;km/h}{3,6} = 30,6\;m/s \tag{1}
$$

Com isso, temos que a distância percorrida é:

$$
d_{vc} = v\cdot t = 30,6\;m/s\cdot2\;s = 61,2\;m \tag{2}
$$

A polícia está desacelerando nesse tempo, então para calcular a distância percorrida por ela, devemos utilizar a equação da posição com aceleração constante:

$$
d_{pol} = v_{0}t + a\frac{t^{2}}{2} = 30,6\;m/s\cdot2\;s+(-5\;m/s^{2})\cdot\frac{(2\;s)^{2}}{2} = 51,2\;m \tag{3}
$$

Portando, depois de 2 segundos a distância relativa entre eles (D) é dada pela distância relativa em que eles estavam no início menos a diferença da distância percorrida por eles nesses 2 segundos:

$$
\boxed{D = (x_{pol}-x_{vc})-(d_{pol}-d_{vc}) = 25\;m-(61,2\;m – 51,2\;m) = 15\;m} \tag{4} $$

Item (b):

Agora, devemos calcular a velocidade do seu carro quando ele colide com o carro da polícia, supondo que você demorou 0,4 segundos para perceber o perigo e também freia a $5 m/s^{2}$. Primeiramente, o tempo que devemos assumir agora é os 2 segundos de distração mais os 0,4 segundos de reação para frear, então, t = 2 s +0,4 s = 2,4 s.

Como o tempo mudou, temos que fazer os cálculos do item (a) novamente com esse novo tempo para saber a distância relativa em que os carros estão depois dos 2,4 s.

$$
d_{vc} = v\cdot t = 30,6\;m/s\cdot2,4\;s = 73,3\;m \tag{5}
$$

$$
d_{pol} = v_{0}t + a\frac{t^{2}}{2} = 30,6\;m/s\cdot2,4\;s+(-5\;m/s^{2})\cdot\frac{(2,4\;s)^{2}}{2} = 58,9\;m \tag{6}
$$

Então a distância entre os dois carros depois de 2,4 segundos é de:

$$
D(2,4\;s) = (x_{pol}-x_{vc})-(d_{pol}-d_{vc}) = 25\;m-(73,3\;m – 58,9\;m) = 10,6\;m \tag{7}
$$

Agora temos um novo cenário. No instante de tempo depois dos 2,4 s, que chamaremos de tempo $t_{0}$, a polícia já está freando e a velocidade dela é de:

$$
v(t_{0}) = v_{0} + at = 30,6\;m/s – 5\;m/s^{2}\cdot2,4\;s = 18,6\;m/s \tag{8}
$$

Nesse tempo $t_{0}$, você vai começar a frear, então a sua velocidade em $t_{0}$ ainda é a velocidade inicial de 30,6 m/s. A colisão vai ocorrer no instante t em que você e a polícia ocupam o mesmo espaço, ou seja, $x_{vc}=x_{pol}$. Para isso, como a partir de $t_{0}$ ambos os carros estão freando com aceleração constante, vamos fazer a equação de movimento com aceleração constante para ambos os carros:

$$
x_{pol} – 10,6 = 18,6(t-t_{0})-(5)(t-t_{0})^{2}/2 \tag{9}
$$

$$
x_{vc} = 30,6(t-t_{0})-(5)(t-t_{0})^{2}/2 \tag{10}
$$

Subtraindo as equações termo a termo, temos (lembrando que $x_{pol}-x_{vc} = 0$ na situação de colisão):

$$
10,6 = (30,6-18,6)(t-t_{0}) \xrightarrow{} t-t_{0} = 0,88\;s \tag{11}
$$

Com isso, podemos calcular o que nos é pedido nesse item, ou seja, a velocidade do seu carro no momento da colisão:

$$
v = v_{0} + a(t-t_{0}) = 30,6\;m/s + (-5\;m/s^{2})(0,88\;s) \approx 26\;m/s \tag{12}
$$

Portanto, seu carro atinge o carro da polícia a uma velocidade de:

$$\boxed{v = 26\;m/s = 94\;km/h} \tag{13}
$$