Exercício 42, Capítulo 18, Fundamentos de Física Vol. 2: anel de cobre

Halliday & Resnick

Fundamentos de Física – 10^a Edição

Capítulo 18: Temperatura, Calor e a Primeira Lei da Termodinâmica

Exercício 42:

Enunciado:

Um anel de cobre de 20,0 g a 0,000°C tem um diâmetro interno $D = 2,54000 \; cm$. Uma esfera de alumínio a 100,0°C tem um diâmetro $d = 2,54508 \; cm$. A esfera é colocada acima do anel (Fig. 18-36) até que os dois atinjam o equilíbrio térmico, sem perda de calor para o ambiente. … para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.

Dados relevantes fornecidos no enunciado:

Item Único:

O exercício nos pergunta qual a massa da esfera $m_e$. A figura 18-36 do livro ilustra o problema. Tanto o anel quanto a esfera irão sofrer dilatação ou contração térmica dependendo das temperaturas finais e iniciais. Com isso, podemos escrever a equação de dilatação para os dois objetos:

$$
D_a = D
\tag{1}$$

No qual $D_a$ é o diâmetro final do anel, $\alpha_c$ é o coeficiente de dilatação do cobre e $T_a$ é a temperatura do anel. Do mesmo modo:

$$
D_e = d
\tag{2}$$

No qual $\alpha_a$ é o coeficiente de dilatação do alumínio e $T_e$ é a temperatura da esfera. Como na temperatura de equilíbrio ambos os diâmetros são iguais, podemos igualar as Equações (1) e (2):

$$
D = d
\tag{3}$$

Explicitando a temperatura final $T_f$:

$$
T_f = \frac{D-d-D\alpha_cT_a+d\alpha_aT_e}{d\alpha_a-D\alpha_c}
\tag{4}$$

Substituindo os valores, lembrando que $T_a=0$ e usando os valores de coeficiente de dilatação térmica do cobre e do alumínio da Tabela 18-2:

$$
T_f = \frac{2,54000\;cm-2,54508\;cm+(2,54508\;cm)(23\times10^{-6}/^{\circ}C)(100^{\circ}C)}{(2,54508\;cm)(23\times10^{-6}/^{\circ}C)-(2,54000\;cm)(17\times10^{-6}/^{\circ}C)} = 50,4^{\circ}C
\tag{5}$$

Agora, vamos utilizar a conservação de calor entre os dois objetos. Como a temperatura inicial do anel é $0^{\circ}C$, o calor recebido pelo anel é:

$$
Q = c_cm_aT_f
\tag{6}$$

No qual $c_c$ é o calor específico do cobre. O calor cedido pela esfera quente é dado por:

$$
Q = c_am_e(T_i-T_f)
\tag{7}$$

Aqui, $c_a$ é o calor específico do alumínio e $m_e$ é a massa da esfera, que queremos determinar. Por conservação, podemos igualar as Equações (6) e (7):

$$
c_cm_aT_f = c_am_e(T_i-T_f)
\tag{8}$$

Isolando $m_e$, usando o resultando para a temperatura final da Equação (5) e usando os valores tabelado para o calor específico do cobre e do alumínio da Tabela 18-3 do livro, chegamos no resultado para o exercício:

$$
\boxed{m_e = \frac{c_cm_aT_f}{c_a(T_i-T_f)} = \frac{(386\;J/kgK)(0,02\;kg)(50,4^{\circ}C)}{(900\;J/kgK)(100^{\circ}C-50,4^{\circ}C)} = 8,7\times10^{-3}\;kg = 8,7\;g}
\tag{9}$$