Halliday & Resnick
Fundamentos de Física – 10a Edição
Capítulo 18: Temperatura, Calor e a Primeira Lei da Termodinâmica
Exercício 41:
Enunciado:
Dois cubos de gelo de 50 g são misturados com 200 g de água em um recipiente termicamente isolado. Se a água está inicialmente a 25°C e o gelo foi removido de um congelador a –15°C, qual é a temperatura final… para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.
Dados relevantes fornecidos no enunciado:
Item (a):
Nesse item, o exercício nos pergunta qual a temperatura final em equilíbrio térmico. Primeiramente, precisamos descobrir se a temperatura de equilíbrio é tal que o gelo permanece no estado sólido, se ele derrete parte do gelo ou se o gelo deve derreter completamente pra chegar ao equilíbrio. Portanto, vamos considerar que o gelo não passe para o estado líquido. Nesse caso, o calor cedido pela água no estado líquido será:
$$
|Q| = c_am_a(T_{ai} – T_f)
\tag{1}$$
No qual $c_a$ é o calor específico da água e $T_f$ é a temperatura de equilíbrio que o exercício nos perguta. Agora, o calor absorvido pelo gelo (supondo que não há mudança de fase):
$$
Q = c_gm_g(T_f-T_{gi})
\tag{2}$$
De acordo com a lei de conservação de energia, os dois valores de calor devem ser iguais:
$$
c_am_a(T_{ai} – T_f) = c_gm_g(T_f-T_{gi})
\tag{3}$$
Isolando $T_f$:
$$
\begin{aligned}
T_f = \frac{c_am_aT_{ai}+c_gm_gT_{gi}}{c_am_a+c_gm_g} =\\ \frac{(4190\;J/kgK)(0,2\;kg)(25^{\circ}C)+(2220\;J/kgK)(0,1\;kg)(-15^{\circ}C)}{(4190\;J/kgK)(0,2\;kg)+(2220\;J/kgK)(0,1\;kg)} =16,6^{\circ}C
\end{aligned}
\tag{4}$$
Como nosso resultado foi maior que $0^{\circ}$, ou seja, acima do ponto de fusão do gelo, o gelo portanto irá derreter e assim, temos que levar essa mudança de fase em conta para chegarmos no resultado correto. A próxima hipótese é a de que o gelo derrete parcialmente. Vamos calcular a massa de gelo que derreteu. O calor cedido pela água é a mesma expressão da Equação (1), já o calor cedido pelo gelo agora terá o termo de mudança de fase:
$$
Q = c_gm_g(0-T_{gi}) + mL_F
\tag{5}$$
No qual $L_F$ é o calor de fusão do gelo e $T_f=0$ porque estamos considerando que a temperatura final é justamente na mudança de fase do gelo. Por conservação de energia, igualamos das Equações (1) e (5):
$$
c_am_a(T_{ai} – 0) = c_gm_g(0-T_{gi}) + mL_F
\tag{6}$$
Vamos agora isolar a massa $m$ que é a massa de gelo que se transformou em água.
$$
m = \frac{c_am_aT_{ai}+c_gm_gT_{gi}}{L_F} = \frac{(4190\;J/kgK)(0,2\;kg)(25^{\circ}C)+(2220\;J/kgK)(0,1\;kg)(-15^{\circ}C)}{333\times10^3\;J/kg} = 53\;g
\tag{7}$$
Como a massa derretida é menor do que a massa total e gelo, podemos afirmar que a temperatura de equilíbrio perguntada nesse item é de:
$$
\boxed{T_f=0^{\circ}C}
\tag{8}$$
Em que teremos $53\;g$ de gelo transformado em água e $47\;g$ permanecem no estado sólido.
Item (b):
Agora, devemos calcular a temperatura final se for usado apenas um cubo de gelo, ou seja, $50\;g$ de gelo. Já sabemos, portanto, do item anterior que com menos de $53\;g$ de gelo, todo o gelo irá derreter e ainda teremos um pequeno aumento da temperatura (acima de $0^{\circ}C$). Novamente, o módulo do calor cedido pela água é:
$$
|Q|=c_am_a(T_{ai}-T_f)
\tag{9}$$
E o calor absorvido pelo gelo e pela água:
$$
Q = c_gm_g(0-T_{gi})+m_gL_F+c_am_g(T_f-0)
\tag{10}$$
O primeiro termo da expressão acima é a energia necessária para aquecer o gelo até a temperatura de fusão do mesmo. O segundo termo é a energia necessária para transformar o gelo em água e o terceiro termo é o calor necessário para aquecer a água resultada do gelo derretido. Por conservação de energia:
$$
c_am_a(T_{ai}-T_f) = c_gm_g(0-T_{gi})+m_gL_F+c_am_g(T_f-0)
\tag{11}$$
Explicitando $T_f$:
$$
T_f = \frac{c_am_aT_{ai}+c_gm_gT_{gi}-m_gL_F}{c_a(m_a+m_g)}
\tag{12}$$
Substituindo os valores conhecidos como no item anterior, resultamos em:
$$
\boxed{T_f = 2,5^{\circ}C}
\tag{13}$$
