Halliday & Resnick
Fundamentos de Física – 10a Edição
Capítulo 8: Energia Potencial e Conservação da Energia
Exercício 41:
Enunciado:
Uma única força conservativa $F(x)$ age sobre uma partícula de 1,0 kg que se move ao longo de um eixo $x$. A energia potencial $U(x)$ associada a $F(x)$ é dada por $U(x) = -4 x e^{-x/4}J$, em que x está em metros. Em $x = 5,00 \; cm$, a partícula possui uma energia cinética de… para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.
Dados relevantes fornecidos no enunciado:
Item (a):
Nesse item, devemos determinar a energia mecânica do sistema. Como temos uma força conservativa, a energia mecânica do sistema se conserva para todo ponto x. Ou seja, se calcularmos a energia mecânica para $x=5\;m$, essa será a energia mecânica do sistema para qualquer posição. A energia mecânica (E) é a soma da energia potencial com a cinética:
$$
E = K(5\;m)+U(5\;m)
\tag{1}$$
A energia cinética nos foi dado o valor enquanto que a energia potencial basta substituirmos o valor de $x=5\;m$ na expressão de U(x).
$$
E = 2\;J + \;J
\tag{2}$$
$$
\boxed{E = -3,7\;J}
\tag{3}$$
Item (b):
Nesse item, vamos fazer um gráfico da expressão U(x) com o plot da reta da energia mecânica (constante para todo x), para $0 \leq x \leq 10\;m$.
A Figura abaixo mostra o gráfico pedido no exercício.
Figura 1: Gráfico de U(x) e de E(x).
Item (c):
Agora, devemos determinar graficamente o ponto mínimo de x. Ou seja, existem pontos de retorno para o equilíbrio devido a equação para a energia potencial. A energia potencial elástica é outro exemplo de funções com pontos de retorno. O valor mínimo de x será quando a energia cinética é nula, ou seja, quando a energia potencial é igual a energia mecânica (pense no caso elástico para entender). No nosso caso, graficamente será quando as linhas azul e vermelha se cruzam no menor x possível. Graficamente, esse valor é de:
$$
\boxed{x_{min}=1,3\;m}
\tag{4}$$
Matematicamente, podemos calcular esse valor fazendo com que:
$$
U(x) = E \Longrightarrow -4xe^{(-x/4)} = -3,7
\tag{5}$$
Isolando x na segunda igualdade, temos duas raízes, $x_{min}$ e $x_{max}$.
Item (d):
Fazendo o mesmo para o maior valor de x, chegamos em:
$$
\boxed{x_{max}=9,1\;m}
\tag{6}$$
Item (e):
Nesse item, vamos calcular a energia cinética máxima da partícula. Sabemos que ela será máxima quando a energia potencial for mínima. Graficamente, vemos que o mínimo da função U(x) é para $x=4\;m$.
Podemos escrever a energia cinética máxima como sendo:
$$
K_{max} = E – U(x=4\;m) = -3,7 – (-4(4)e^{-(4)/4})
\tag{7}$$
O que resulta:
$$
\boxed{k_{max}= 2,16\;J}
\tag{8}$$
Perceba que a energia cinética máxima pode ser entendida como a distância entre as curvas azul e vermelha no gráfico em $x=4\;m$.
Item (f):
Nesse item, nos é pedido o valor de x para o qual a energia cinética é máxima. Como já discutido no item anterior, ela será máxima para:
$$
\boxed{x = 4\;m}
\tag{9}$$
Item (g):
Devemos escrever uma expressão para F(x). Lembre que a força é justamente a derivada em relação a x da energia potencial, ou seja:
$$
F(x) = -\frac{dU(x)}{dx} = +4\frac{d(xe^{-x/4})}{dx} = 4\left(-\frac{1}{4}xe^{-x/4} + e^{-x/4}\right)
\tag{10}$$
No qual usamos a regra da multiplicada para a derivada. Rearranjando o resultado, temos:
$$
\boxed{F(x) =(4-x)e^{-x/4}}
\tag{11}$$
Item (h):
Nesse item, devemos encontrar $x$ tal que $F(x) = 0$. Como já calculamos a expressão para a força no item anterior, basta substituir. Então, pela Equação (11), temos:
$$
F(x) = 0 \Longrightarrow (4-x)e^{-x/4} = 0
\tag{12}$$
Se resolvermos cada termo da multiplicação, teremos:
$$
4-x = 0 \Longrightarrow x = 4
\tag{13}$$
$$
e^{-x/4} = 0 \Longrightarrow x = \inf
\tag{14}$$
O exercício nos pediu o valor finito, portanto, a solução é:
$$
\boxed{x=4\;m}
\tag{15}$$
Veja que a força é zero no mesmo ponto que em que a energia cinética é máxima.
